Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P=∠BAC．
（1）求证：PA为⊙O的切线；
（2）若OB=5，OP= ，求AC的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠BAC+∠B=90°．

又∵OP∥BC，

∴∠AOP=∠B，

∴∠BAC+∠AOP=90°．

∵∠P=∠BAC．

∴∠P+∠AOP=90°，

∴由三角形内角和定理知∠PAO=90°，即OA⊥AP．

又∵OA是的⊙O的半径，

∴PA为⊙O的切线

（2）解：由（1）知，∠PAO=90°．∵OB=5，

∴OA=OB=5．

又∵OP= ，

∴在直角△APO中，根据勾股定理知PA= = ，

由（1）知，∠ACB=∠PAO=90°．

∵∠BAC=∠P，

∴△ABC∽△POA，

∴ = ．

∴ = ，

解得AC=8．即AC的长度为8．

【解析】（1）欲证明PA为⊙O的切线，只需证明OA⊥AP；（2）通过相似三角形△ABC∽△PAO的对应边成比例来求线段AC的长度．
【考点精析】本题主要考查了勾股定理的概念和切线的判定定理的相关知识点，需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线才能正确解答此题．