Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．

（1）若∠B=70°，则∠NMA的度数是　 　．

（2）连接MB，若AB=8cm，△MBC的周长是14cm．

①求BC的长；

②在直线MN上是否存在点P，使由P，B，C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）50°；（2）①BC=6cm；②当点P与点M重合时，PB+CP的值最小，最小值是8cm．

【解析】试题分析：1）根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，可得∠A的度数，根据直角三角形两锐角的关系，可得答案；

（2）①根据垂直平分线的性质，可得AM与MB的关系，再根据三角形的周长，可得答案；

②根据两点之间线段最短，可得P点与M点的关系，可得PB+PC与AC的关系．

试题解析：（1）∵AB=AC，∴∠C=∠B=70°，∴∠A=180°-∠B-∠C=40°，

∵∠ANM=90°，∴∠NMA=90°-∠A= 50°，

故答案为：50°；

（2）如图：

①∵MN垂直平分AB．

∴MB=MA，

又∵△MBC的周长是14cm，

∴AC+BC=14cm，

∴BC=6cm；

②当点P与点M重合时，PB+CP的值最小，最小值是8cm．