题目内容
【题目】某班“手拉手”数学学习互助小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究时,遇到以下问题,请你逐一加以解答:
(1)如图1,正方形ABCD中,EF⊥GH,EF分别交AB,CD于点E,F,GH分别交AD,BC于点G,H,则EF GH;(填“>”“=”或“<”)
(2)如图2,矩形ABCD中,EF⊥GH,EF分别交AB,CD于点E,F,GH分别交AD,BC于点G,H,求证: =;
(3)如图3,四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,BC=3,CD=5,AD=7.5,AM⊥DN,点M,N分别在边BC,AB上,求的值.
【答案】(1)=;(2)见解析;(3)
【解析】
(1)首先过点A作AP∥GH,交BC于P,过点B作BQ∥EF,交CD于Q,交BQ于T,然后根据正方形的性质以及△ABP≌△BCQ的判定与性质,即可得出EF=GH;
(2)首先过点A作AP∥EF,交CD于P,过点B作BQ∥GH,交AD于Q,然后根据矩形的性质以及△PDA∽△QAB的判定与性质,即可得出;
(3)首先过点D作平行于AB的直线,交过点A平行于BC的直线于R,交BC的延长线于S,判定平行四边形ABSR是矩形,由(1)结论得出,然后判定△ARD∽△DSC,运用其性质和勾股定理构建方程,求解即可.
(1)如图1中,过点A作AP∥GH,交BC于P,过点B作BQ∥EF,交CD于Q,交BQ于T,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB∥DC,AD∥BC,AB=BC,∠ABP=∠C=90°
∴四边形BEFQ、四边形PHGA都是平行四边形,
∴AP=GH,EF=BQ.
又∵GH⊥EF,
∴AP⊥BQ,
∴∠PBT+∠ABT=90°,∠ABT+∠BAT=90°,
∴∠CBQ=∠BAT,
在△ABP和△BCQ中,
,
∴△ABP≌△BCQ,
∴AP=BQ,
∴EF=GH,
故答案为:=;
(2)过点A作AP∥EF,交CD于P,过点B作BQ∥GH,交AD于Q,如图2,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥DC,AD∥BC.
∴四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形,
∴AP=EF,GH=BQ.
又∵GH⊥EF,
∴AP⊥BQ,
∴∠QAT+∠AQT=90°,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠DAB=∠D=90°,
∴∠DAP+∠DPA=90°,
∴∠AQT=∠DPA,
∴△PDA∽△QAB,
∴,
∴;
(3)过点D作平行于AB的直线,交过点A平行于BC的直线于R,交BC的延长线于S,如图3,
则四边形ABSR是平行四边形.
∵∠ABC=90°,
∴平行四边形ABSR是矩形,
∴∠R=∠S=90°,RS=AB=10,AR=BS.
∵AM⊥DN,
∴由(1)中的结论可得,
设SC=x,则AR=BS=3+x,
∵∠ADC=∠R=∠S=90°,
∴∠ADR+∠RAD=90°,∠ADR+∠SDC=90°,
∴∠RAD=∠CDS,
∴△ARD∽△DSC,
∴==,
∴DR=x,DS=(x+3),
在Rt△ARD中,∵AD2=AR2+DR2,
∴7.52=(x+3)2+(x)2,
整理得13x2+24x﹣189=0,解得x=3或﹣,
∴AR=6,AB=RS=,
∴=.
【题目】阅读理解:如图,Rt△AB中,,AC=BC,AB= 4cm.动点D沿着A→C→B的方向从A点运动到B点.DEAB,垂足为E.设AE长为cm,BD长为cm(当D与A重 合时,= 4;当D与B重合时=0).小云根据学习函数的经验,对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究.下面是小云的探究过程,请补充完整:
(1)通过取点、画图、测量,得到了与的几组值,如下表:
/cm | 0 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 | 3.5 | 4 |
/cm | 4 | 3.5 | 3.2 |
| 2.8 | 2.1 | 1.4 | 0.7 | 0 |
补全上面表格,要求结果保留一位小数.则__________;
(2)在下面的网格中建立平面直角坐标系,描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点,画出该函数的图象;
(3)结合画出的函数图象,解决问题:当DB=AE时,AE的长度约为 cm.