题目内容
【题目】综合与探究
问题情境：如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC上的点，且AD＝AE，连接DE，易知BD＝CE．将△ADE绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜360°），连接BD，CE，得到图2．
（1）变式探究：如图2，若0°＜α＜90°，则BD＝CE的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（2）拓展延伸：若图1中的∠BAC＝120°，其余条件不变，请解答下列问题：
从A，B两题中任选一题作答我选择 题
A．①在图1中，若AB＝10，求BC的长；
②如图3，在△ADE绕点A顺时针旋转的过程中，当DE的延长线经过点C时，请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系；
B．①在图1中，试探究BC与AB的数量关系，并说明理由；
②在△ADE绕点A顺时针旋转的过程中，当点D，E，C三点在同一条直线上时，请借助备用图探究线段AD，BD，CD之间的等量关系，并直接写出结果．
【答案】（1）结论：BD＝CE．理由见解析；（2）A：①BC＝10
．②结论：CD＝AD+BD．理由见解析；B：①BC＝AB．②结论：CD＝AD+BD．理由见解析．
【解析】
（1）结论：BD＝CE．只要证明△DAB≌△EAC即可；
（2）A：①如图1中，作AH⊥BC于H．解直角三角形即可解决问题；
②结论：CD＝AD+BD．如图3中，作AH⊥CD于H．由△DAB≌△EAC，推出BD＝CE，在Rt△ADH中，DH＝ADcos30°＝
AD，由AD＝AE，AH⊥DE，推出DH＝HE，可得CD＝DE+EC＝2DH+BD＝AD+BD；
B：①如图1中，作AH⊥BC于H．解直角三角形可得：BC＝2BH＝AB；
②类似A②；
（1）结论：BD＝CE．
理由：如图2中，
∵∠ABC＝∠DAE，
∴∠DAB＝∠EAC，
∵AD＝AE，AB＝AC，
∴△DAB≌△EAC，
∴BD＝EC．
（2）A：①如图1中，作AH⊥BC于H．
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝HC，
∵∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴BH＝ABcos30°＝5，
∴BC＝10．
②结论：CD＝AD+BD．
理由：如图3中，作AH⊥CD于H．
∵△DAB≌△EAC，
∴BD＝CE，
在Rt△ADH中，DH＝ADcos30°＝
∵AD＝AE，AH⊥DE，
∴DH＝HE，
∵CD＝DE+EC＝2DH+BD＝AD+BD．
B：①如图1中，作AH⊥BC于H．
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝HC，
∵∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴BH＝ABcos30°＝AB，
∴BC＝2BH＝AB．
②结论：CD＝AD+BD．
证明方法同A②．
