Question

【题目】已知抛物线y＝x2+mx﹣2m﹣4（m＞0）．

（1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点；

（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，B，C三点都在⊙P上．

①试判断：不论m取任何正数，⊙P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；

②若点C关于直线x的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE，△BDE的周长记为l，⊙P的半径记为r，求的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①定点F的坐标为（0，1）；②．

【解析】

（1）令y=0，再求出判别式，判断即可得出结论；

（2）先求出OA=2，OB=m+2，OC=2（m+2），

①判断出∠OCB=∠OAF，求出tan∠OCB=，即可求出OF=1，即可得出结论；

②先设出BD=n，再判断出∠DCE=90°，得出DE是⊙P的直径，进而求出BE=2n，DE=n，即可得出结论．

（1）令y＝0，则x2+mx﹣2m﹣4＝0，

∴△＝m2﹣4[﹣2m﹣4]＝m2+8m+16，

∵m＞0，

∴△＞0，

∴该抛物线与x轴总有两个不同的交点；

（2）令y＝0，则x2+mx﹣2m﹣4＝0，

∴（x﹣2）[x+（m+2）]＝0，

∴x＝2或x＝﹣（m+2），

∴A（2，0），B（﹣（m+2），0），

∴OA＝2，OB＝m+2，

令x＝0，则y＝﹣2（m+2），

∴C（0，﹣2（m+2）），

∴OC＝2（m+2），

①通过定点（0，1）理由：如图，

∵点A，B，C在⊙P上，

∴∠OCB＝∠OAF，

在Rt△BOC中，tan∠OCB，

在Rt△AOF中，tan∠OAF，

∴OF＝1，

∴点F的坐标为（0，1）；

②如图1，

由①知，点F（0，1）．

∵D（0，1），

∴点D在⊙P上，

∵点E是点C关于抛物线的对称轴的对称点，

∴∠DCE＝90°，

∴DE是⊙P的直径，

∴∠DBE＝90°，

∵∠BED＝∠OCB，

∴tan∠BED，

设BD＝n，在Rt△BDE中，tan∠BED，

∴BE＝2n，根据勾股定理得：DEn，

∴l＝BD+BE+DE＝（3）n，rDEn，

∴．