题目内容
【题目】已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将一个直角三角板的直角顶点P放在射线OM上，OP=2，移动直角三角板，两边分别交射线OA，OB与点C，D.
（1）如图，当点C、D都不与点O重合时，求证：PC=PD；
（2）联结CD，交OM于E，设CD=x，PE=y，求y与x之间的函数关系式；
（3）如图，若三角板的一条直角边与射线OB交于点D，另一直角边与直线OA，直线OB分别交于点C，F，且△PDF与△OCD相似，求OD的长．
【答案】（1）见解析；（2）
；（3）2．
【解析】
（1）作PH⊥OA于H，PN⊥OB于N，由直角三角形的性质可知∠PHC=∠PND=90°，则∠HPC+∠CPN=90°，再由ASA定理得出△PCH≌△PDN，由此可得出结论；
（2）根据（1）中PC=PD可得出∠POB=∠PDC，故△PDE∽△POD，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论；
（3）根据题意画出图形，假设△PDF与△OCD相似，再由相似三角形的性质即可得出结论．
证明：作PH⊥OA于H，PN⊥OB于N，
则∠PHC=∠PND=90°，则∠HPC+∠CPN=90°
∵ ∠CPN+∠NPD=90°
∴∠HPC=∠NPD，
∵OM是∠AOB的平分线
∴PH=PN，∠POB=45°，
∵在△PCH与△PDN中，
，
∴△PCH≌△ PDN（ASA）
∴PC=PD；
（2）解：∵PC=PD，
∴∠PDC=45°，
∴∠POB=∠PDC，
∵∠DPE=∠OPD，
∴△ PDE∽ △ POD，
∴PE：PD=PD：PO，
又∵PD2=
CD2，
∴PE=
x2，即y与x之间的函数关系式为y=x2；
（3）如图1，点C在AO上时，
∵∠PDF＞∠CDO，
令△PDF∽△OCD，
∴∠ DFP=∠CDO，
∴CF=CD，
∵CO⊥ DF
∴OF=OD
∴ OD=DF=OP=2；
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