题目内容
【题目】（1）如图，已知△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，求证：DE∥BC，DE=
BC．
（2）利用第（1）题的结论，解决下列问题：
①如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点，求证：EF∥BC，FE=（AD+BC）
②如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3
，AD＝3，点M，N分别在边AB，BC上，点E，F分别为MN，DN的中点，连接EF，求EF长度的最大值．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析，②3
【解析】
（1）延长DE到点F，使得EF=DE，连接CF，证明四边形BCFD是平行四边形即得；
（2）①连接AF，并延长AF交BC延长线于点M，先证明
，进而得出
，再根据（1）的结论即得；
②连接DM，根据（1）的结论得出EF=
DM，进而得出当DM最大时，EF最大，再根据勾股定理求出DM的值，进而得出EF的值．
（1）如下图，延长DE到点F，使得EF=DE，连接CF，
∵D、E分别是AB、AC的中点
∴
，AD=BD
在
和
中
∴
∴∠A=∠ECF，AD=CF
∴CF∥AB
又∵AD=BD
∴CF=BD
∴四边形BCFD是平行四边形
∴DF=BC，DE∥BC
∵EF=DE
∴DE=DF=BC
∴DE∥BC，DE=BC
（2）①连接AF，并延长AF交BC延长线于点M
∵AD∥BC
∴
∵F分别是CD的中点
∴DF=FC
∵
∴
∴
∴BM=AD+BC
∵E、F分别是AB、CD的中点
∴EF∥BC，FE=BM
∴EF∥BC，FE=（AD+BC）
②解：连接DM
∵点E，F分别为MN，DN的中点
∴由（1）知EF=DM
∴DM最大时，EF最大
∵M与B重合时DM最大
∴DM=DB=
=6
∴EF的最大值为3．
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