Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，BF为⊙O的切线，∠AEB=90°，∠ABE=30°，过O作OD⊥BE，垂足为D，延长OD交BF于点C，求证：△ABE≌△OCB．

Answer 1

证明：∵∠AEB=90°，
∴AB是⊙O的直径，
在△AEB中，∠AEB=90°，∠ABE=30°，
∴AE=AB=OB，
又∵BF为⊙O的切线，OB为半径，
∴OB⊥BC，即∠OBC=90°，
∴∠AEB=∠OBC，
∵OD⊥BE，
∴∠ODB=∠AEB=90°，
∴AE∥OD，
∴∠EAB=∠DOB，
在△ABE和△OCB中，
∠AEB=∠OBC，AE=OB，∠EAB=∠COB，
∴△ABE≌△OCB．
分析：由∠AEB=90°，根据圆周角定理的推论得到AB是⊙O的直径，而∠ABE=30°，则AE=AB=OB；再根据切线的性质得到∠OBC=90°；易证得AE∥OD，得∠EAB=∠DOB，然后根据三角形全等的判定即可得到结论．
点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了圆周角定理的推论、三角形全等的判定以及含30度的直角三角形三边的关系．