题目内容
【题目】定义：
数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”．
理解：
（1）如图，已知
、
是
上两点，请在圆上找出满足条件的点
，使
为“智慧三角形”（画出点的位置，保留作图痕迹）；
（2）如图，在正方形
中，
是
的中点，
是
上一点，且
，试判断
是否为“智慧三角形”，并说明理由；
运用：
（3）如图，在平面直角坐标系
中，的半径为1，点
是直线
上的一点，若在上存在一点
，使得
为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点的坐标．
【答案】（1）见解析；（2）
是否为“智慧三角形”，理由见解析；（3）点
的坐标
，
．
【解析】
（1）连结AO并且延长交圆于C1，连结BO并且延长交圆于C2，即可求解；
（2）设正方形的边长为4a，表示出DF、CF以及EC、BE的长，然后根据勾股定理列式表示出AF2、EF2、AE2，再根据勾股定理逆定理判定△AEF是直角三角形，由直角三角形的性质可得△AEF为“智慧三角形”；
（3）根据“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，根据勾股定理可求另一条直角边，再根据三角形面积可求斜边的高，即点P的横坐标，再根据勾股定理可求点P的纵坐标，从而求解．
（1）解析】如图所示
（2）是否为“智慧三角形”，
理由如下：设正方形的边长为
，
∵
是
的中点，∴
，
∵
，∴
，
，
在
中，
，
在
中，
，
在
中，
，
∴
，
∴是直角三角形，
∵斜边
上的中线等于的一半，
∴为“智慧三角形”；
（3）如图所示：
由“智慧三角形”的定义可得
为直角三角形，
根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，
由勾股定理可得
，
，
由勾股定理可求得
，
故点的坐标，．
