题目内容
【题目】（1）感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，易知DB，DC数量关系为： ．
（2）探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，（1）中的结论是否成立？请作出判断并给予证明．
（3）应用：如图3，在四边形ABCD中，DB＝DC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，DE⊥AB于点E，试判断AB，AC，BE的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）BD＝CD；（2）成立，证明详见解析；（3）AB＝AC+2BE，证明详见解析．
【解析】
（1）结论：BD＝CD．只要证明△ADC≌△ADB即可；
（2）结论成立．如图②中，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，只要证明△ADC≌△ADB即可；
（3）如图③中，连接AD．作DF⊥AC于F．首先证明△DFC≌△DEB（AAS），再证明Rt△ADF≌Rt△ADE（HL）即可解决问题.
解：（1）结论：DB＝DC．
理由：∵∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵∠DAC＝∠DAB，AD＝AD，
∴△ADC≌△ADB．
∴BD＝CD．
故答案为BD＝CD．
（2）结论成立．
理由：如图②中，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠FCD＝180°，
∴∠B＝∠FCD，
在△DFC和△EDB中，
，
∴△DFC≌△DEB，
∴DC＝DB．
（3）结论：AB＝AC+2BE．
理由：如图③中，连接AD．作DF⊥AC于F．
∵∠B+∠ACD＝180°，∠ACD+∠FCD＝180°，
∴∠B＝∠FCD，
在△DFC和△DEB中，
，
∴△DFC≌△DEB（AAS），
∴DF＝DE，CF＝BE，
在Rt△ADF和Rt△ADE中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），
∴AF＝AE，
∴AB＝AE+BE＝AC+CF+BE＝AC+2BE．
