Question

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．
（1）求证：BE与⊙O相切；
（2）设OE交⊙O于点F，若DF=1，BC=2，求由劣弧BC、线段CE和BE所围成的图形面积S．

Answer 1

（1）见解析   （2）

试题分析：（1）连接OC，易证得△COE≌△BOE（SAS），即可得∠OCE=∠OBE=90°，证得BE与⊙O相切。
（2）设OC=x，则OD=OF﹣DF=x﹣1，易求得OC的长，即可得∠BOC=120°，由S=S_{四边形OBFC}﹣S_扇形OBC求得答案。
解：（1）证明：连接OC，

∵CE是⊙O的切线，OB=OC，OD⊥BC，∴∠EOC=∠EOB。
∵在△EOC和△EOB中，OB=OC，∠EOC=∠EOB，OE=OE，
∴△COE≌△BOE（SAS），∴∠OCE=∠OBE=90°。
∴OB⊥BE。∴BE与⊙O相切。
（2）∵OD⊥BC，∴CD=BC=×2=。
设OC=x，则OD=OF﹣DF=x﹣1，
在Rt△OCD中，OC²=OD²+CD²，
∴x²=（x﹣1）²+（）²，解得：x=2。
∴OC=2，∠COD=60°，∴∠BOC=120°。
∴CE=OC•tan60°=2。
∴S=S_{四边形OBFC}﹣S_扇形OBC=2S_△OCE﹣S_扇形OBC=。