Question

如图，已知点A（-3，5）在抛物线y=

1

2

x²+c的图象上，点P从抛物线的顶点Q出发，沿y轴以每秒1个单位的速度向正方向运动，连接AP并延长，交抛物线于点B，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足为C、D，连接AQ、BQ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当A、Q、B三点构成以AQ为直角边的直角三角形时，求点P离开点Q多少时间？
（3）试探索当AP、AC、BP、BD与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构成平行四边形）时，点P离开点Q的时刻．

Answer 1

分析：（1）把点A（-3，5）代入抛物线y=

1

2

x²+c，即可求出c的值，从而得二次函数解析式；
（2）根据P为动点以及A、Q、B三点构成以AQ为直角边的直角三角形，分两种情况讨论：①若AQ⊥BQ，过点Q作MQ⊥y轴，可证△AMQ∽△QNB．②若AQ⊥AB，由于AC∥PQ，可证△AMQ∽△QAP，然后根据相似三角形的性质解答；
（3）根据AP、AC、BP、BD与一个平行四边形的四条边对应相等，分三种情况讨论：①AC=BD，AP=BP时，根据轴对称的性质解答；②AC=AP时，利用勾股定理结合一次函数解析式解答．

解答：解：（1）把A（-3，5）代入得：5=

1

2

×9+c，
∴c=

1

2

．
（2）①若AQ⊥BQ，过点Q作MQ⊥y轴，过点Q作QN⊥BD于点N，
可证△AMQ∽△QNB．
∵AM=AC-MC=

9

2

，MQ=3，
∴

BN

NQ

=

MQ

AM

=

2

3

．
设B（3k，2k+

1

2

），
代入抛物线解析式得：k=

4

9

，即B（

4

3

，

25

18

）．
∴直线AB的解析式为：y=-

5

6

x+

5

2

．
∴OP=

5

2

，
∴PQ=2．
②若AQ⊥AB，
∵AC∥PQ，可证△AMQ∽△QAP，
又由勾股定理得AQ=

3 13

2

．
∴PQ=

AQ2

AM

=

13

2

．
∴对应的时刻t为：2或

13

2

．
（3）①若AC=BD，AP=BP，
此时点A与点B关于y轴对称，
∴OP=AC=5，
∴PQ=4

1

2

．
②若AC=AP，
设P（0，y），则：9+（y-5）²=25，
解之得，y=1，即OP=1．
∴PQ=

1

2

．
此时，直线AP解析式为：y=-

4

3

x+1．
与抛物线的交点B为（

1

3

，

5

9

），
∴PB=

1 9 + 25 81

=

6

9

=BD．
∴满足条件的时刻为：

1

2

和4

1

2

．

点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点．主要考查学生数形结合及分类讨论的数学思想方法．