Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点坐标分别是A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），C（x3 ， y3），对于△ABC的横长、纵长、纵横比给出如下定义：
将|x1﹣x2|，|x2﹣x3|，|x3﹣x1|中的最大值，称为△ABC的横长，记作Dx；将|y1﹣y2|，|y2﹣y3|，|y3﹣y1|中的最大值，称为△ABC的纵长，记作Dy；将 叫做△ABC的纵横比，记作λ= ．
例如：如图1，

△ABC的三个顶点的坐标分别是A（0，3），B（2，1），C（﹣1，﹣2），则Dx=|2﹣（﹣1）|=3，Dy=|3﹣（﹣2）|=5，
所以λ= = ．
（1）如图2，

点A（1，0），
①点B（2，1），E（﹣1，2），
则△AOB的纵横比λ1=
△AOE的纵横比λ2=；
②点F在第四象限，若△AOF的纵横比为1，写出一个符合条件的点F的坐标；
③点M是双曲线y= 上一个动点，若△AOM的纵横比为1，求点M的坐标；
（2）如图3，

点A（1，0），⊙P以P（0， ）为圆心，1为半径，点N是⊙P上一个动点，直接写出△AON的纵横比λ的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）[ "", "1", "②由点F在第四象限，若△AOF的纵横比为1，则F（1，﹣1）（在第四象限的角平分线上即可）．", "③如图设M（xM ， yM）．

a、当0＜xM≤1时，点M在y= 上，则yM＞0，
此时△AOM的横长Dx=1，△AOM的纵长为Dy=yM ，
∵△AOM的纵横比为1，
∴Dy=1，
∴yM=1或﹣1（舍弃），
∴xM= ，
∴M（ ，1）．
b、当xM＞1时，点M在y= 上，则yM＞0，
此时△AOM的横长Dx=xM ， △AOM的纵长为Dy=yM ，
∵△AOM的纵横比为1，
∴Dy=Dx ，
∴xM=yM
∴yM=± （舍弃），
c、当xM＜0时，点M在y= 上，则yM＜0，
此时△AOM的横长Dx=1﹣xM ， △AOM的纵长为Dy=﹣yM ，
∵△AOM的纵横比为1，
∴1﹣xM=﹣yM ，
∴xM= 或 （2）

解：如图3中，

当N（0，1+ ）时，可得△AON的纵横比λ的最大值= =1+ ，

当AN′与⊙P相切时，切点在第二象限时，可得△AON的纵横比λ的最小值，

∵OP= ，OA=1，

∴PA=2．AN′= = ，

∴tan∠APN′= ，

∴∠APN′=60°，易知∠APO=30°，作N′H⊥OP于H．

∴∠HPN′=30°，

∴N′H= ，PH= ，

此时△AON的纵横比λ= = ，

∴ ≤λ≤1+ ．

【解析】解：

由题意△AOB的纵横比λ1= ，△AOE的纵横比λ2= =1，
所以答案是 ，1
【考点精析】掌握勾股定理的概念和切线的性质定理是解答本题的根本，需要知道直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径．