Question

【题目】如图1，过点A（0，4）的圆的圆心坐标为C（2，0），B是第一象限圆弧上的一点，且BC⊥AC，抛物线y= x2+bx+c经过C、B两点，与x轴的另一交点为D．

（1）点B的坐标为（ ， ），抛物线的表达式为；
（2）如图2，求证：BD∥AC；
（3）如图3，点Q为线段BC上一点，且AQ=5，直线AQ交⊙C于点P，求AP的长．

Answer 1

【答案】
（1）6；2；y= x2+ x﹣7
（2）

证明：在抛物线表达式y= x2+ x﹣7中，令y=0，即 x2+ x﹣7=0，

解得x=2或x=7，∴D（7，0）．

如答图2所示，

过点B作BE⊥x轴于点E，则DE=OD﹣OE=1，CD=OD﹣OC=5．

在Rt△BDE中，由勾股定理得：BD= = = ；

在Rt△BCE中，由勾股定理得：BC= = = ．

在△BCD中，BD= ，BC= ，CD=5，

∵BD2+BC2=CD2

∴△BCD为直角三角形，∠CBD=90°，

∴∠CBD=∠ACB=90°，

∴AC∥BD

（3）

解：如答图3所示：

由（2）知AC=BC= ，又AQ=5，

则在Rt△ACQ中，由勾股定理得：CQ= = = ．

过点C作CF⊥PQ于点F，

∵S△ACQ= ACCQ= AQCF，

∴CF= = =2．

在Rt△ACF中，由勾股定理得：AF= = =4．

由垂径定理可知，AP=2AF，

∴AP=8．

【解析】（1.）解：如答图1所示，过点B作BE⊥x轴于点E．
∵AC⊥BC，
∴∠ACO+∠BCE=90°，
∵∠ACO+∠OAC=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠OAC=∠BCE，∠ACO=∠CBE．
∵在△AOC与△CEB中，

∴△AOC≌△CEB（ASA）．
∴CE=OA=4，BE=OC=2，
∴OE=OC+CE=6．
∴B点坐标为（6，2）．
∵点C（2，0），B（6，2）在抛物线y= x2+bx+c上，
∴ ，
解得b= ，c=﹣7．
∴抛物线的表达式为：y= x2+ x﹣7．

【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质的相关知识点，需要掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．