题目内容
【题目】（概念认识）
若以圆的直径的两个端点和圆外一点为顶点的三角形是等腰三角形，则圆外这一点称为这个圆的径等点．
（数学理解）
（1）如图①，AB是⊙O的直径，点P为⊙O外一点，连接AP交⊙O于点C，PC＝AC．
求证：点P为⊙O的径等点．
（2）已知AB是⊙O的直径，点P为⊙O的径等点，连接AP交⊙O于点C，若PC＝2AC．求
的值．
（问题解决）
（3）如图②，已知AB是⊙O的直径．若点P为⊙O的径等点，连接AP交⊙O于点C，PC＝3AC．利用直尺和圆规作出所有满足条件的点P．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）见解析；（2）
；（3）共有4个，见解析
【解析】
（1）连接BC，根据直径的性质及垂直平分线的性质即可得到AB＝PB，故可求解；
（2）分AB＝AP时和PA＝PB时分别作图，根据相似三角形的性质即可求解；
（3）分AP=AB和AP=BP分别作图即可求解．
（1）证明：如图①，连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝PC，
∴BC垂直平分AP，
∴AB＝PB，即△APB为等腰三角形，
∴点P为⊙O的径等点．
（2）①如图②-1，
当AB＝AP时，若PC＝2AC，则
，
∴
；
②如图②-2，
当PA＝PB时，∵O点是AB中点，
∴OP⊥AB，
∴∠ACB=∠AOP，
又∠A=∠A
∴△ABC∽△APO，
∴
，
∵2AC＝PC，设AC＝k，则PC＝2k，
∴
，
AB＝
k，
∴
=
（3）如图③④，满足条件的点P共有4个．
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