Question

【题目】等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图1）．

（1）求证：AM=AN；
（2）设BP=x．
①若BM= ，求x的值；
②求四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积S与x之间的函数关系式以及S的最小值；
③连接DE分别与边AB、AC交于点G、H（如图2）．当x为何值时，∠BAD=15°？此时，以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：证明：∵△ABC、△APD和△APE是等边三角形，

∴AD=AP，∠DAP=∠BAC=60°，∠ADM=∠APN=60°，

∴∠DAM=∠PAN．

在△ADM和△APN中，

∵ ，

∴△ADM≌△APN，

∴AM=AN

（2）

解：①∵△ABC、△ADP是等边三角形，

∴∠B=∠C=∠DAP=∠BAC=60°，

∴∠DAM=∠PAC，

∵∠ADM=∠B，∠DMA=∠BMP，

∴180°﹣∠ADM﹣∠DMA=180°﹣∠B﹣∠BMP，

∴∠DAM=∠BPM，

∴∠BPM=∠NAP，

∴△BPM∽△CAP，

∴ ，

∵BM= ，AC=2，CP=2﹣x，

∴4x2﹣8x+3=0，

解得x1= ，x2= ．

②∵四边形AMPN的面积即为四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积，△ADM≌△APN，

∴S△ADM=S△APN，

∴S四边形AMPN=S△APM+S△APN=S△AMP+S△ADM=S△ADP．

过点P作PS⊥AB，垂足为S，

在Rt△BPS中，

∵∠B=60°，BP=x，

∴PS=BPsin60°= x，BS=BPcos60°= x，

∵AB=2，

∴AS=AB﹣BS=2﹣ x，

∴AP2=AS2+PS2= =x2﹣2x+4．

取AP的中点T，连接DT，在等边三角形ADP中，DT⊥AP，

∴S△ADP= APDT= AP× = ，

∴S=S四边形AMPN=S△ADP= = （0＜x＜2），

∴当x=1时，S的最小值是 ．

③连接PG，若∠DAB=15°，

∵∠DAP=60°，

∴∠PAG=45°．

∵△APD和△APE是等边三角形，

∴四边形ADPE是菱形，

∴DO垂直平分AP，

∴GP=AG，

∴∠PAG=∠APG=45°，

∴∠PGA=90°．

设BG=t，在Rt△BPG中，∠ABP=60°，

∴BP=2t，PG= t，

∴AG=PG= t，

∴ t+t=2，

解得t= ﹣1，

∴BP=2t=2 ﹣2．

∴当BP=2 ﹣2时，∠BAD=15°．

猜想：以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形为直角三角形．

设DE交AP于点O，

∵△APD和△APE是等边三角形，

∴AD=DP=AP=PE=EA，

∴四边形ADPE为菱形，

∴AO⊥DE，∠ADO=∠AEH=30°．

∵∠DAB=15°，

∴∠GAO=45°，

∴∠AGO=45°，∠HAO=15°，

∴∠EAH=45°．

设AO=a，则AD=AE=2a，GO=AO=a，OD= a．

∴DG=DO﹣GO=（ ﹣1）a．

∵∠DAB=15°，∠BAC=60°，∠ADO=30°，

∴∠DHA=∠DAH=75°．

∴DH=AD=2a，

∴GH=DH﹣DG=2a﹣（ ﹣1）a=（3﹣ ）a．

HE=DE﹣DH=2DO﹣DH=2 a﹣2a．

∵DG2+GH2= ，

HE2= = ．

∴DG2+GH2=HE2，

∴以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形为直角三角形．

【解析】（1）由已知条件可以得出AD=AP，∠DAP=∠BAC=60°，∠ADM=∠APN=60°，从而得出∠DAM=∠PAN，可以得出△ADM≌△APN，就可以得出结论．（2）①由已知条件可以得出△BPM∽△CAP，可以得出 ，由已知条件可以建立方程求出BP的值．②四边形AMPN的面积就是四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积，由△ADM≌△APN，S△ADM=S△APN ， 可以得出重合部分的面积就是△ADP的面积．③连接PG，若∠DAB=15°，由∠DAP=60°可以得出∠PAG=45°．由已知条件可以得出四边形ADPE是菱形，就有DO垂直平分AP，得到GP=AG，就有∠PAG=∠APG=45°，得出∠PGA=90°，设BG=t，在Rt△BPG中∠APG=60°，就可以求出BP=2t，PG= t，从而求得t的值，即可以求出结论．以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形为直角三角形，由已知条件可知四边形ADPE为菱形，可以得到∠ADO=∠AEH=30°，根据∠DAB=15°，可以求出∠AGO=45°，∠HAO=15°，∠EAH=45°．设AO=a，则AD=AE=2a，OD= a，得到DG=（ ﹣1）a，由∠DAB=15°，可以求出∠DHA=∠DAH=75°，求得GH=（3﹣ ）a，HE=2（ ﹣1）a，最后由勾股定理的逆定理就可以得出结论．
【考点精析】利用等边三角形的性质和勾股定理的概念对题目进行判断即可得到答案，需要熟知等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．