Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，DF⊥AB于点D，交弦AC于点E，FC=FE．
（1）求证：FC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，cos∠ECF= ，求弦AC的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OC．

∵FC=FE（已知），

∴∠FCE=∠FEC（等边对等角）；

又∵∠AED=∠FEC（对顶角相等），

∴∠FCE=∠AED（等量代换）；

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA（等边对等角）；

∴∠FCE+∠OCA=∠AED+∠OAC；

∵DF⊥AB，

∴∠ADE=90°，

∴∠FCE+∠OCA=90°，即FC⊥OC，

∴FC是⊙O的切线

（2）解：连接BC．

∵AB是⊙O的直径，⊙O的半径为5，

∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），AB=2OA=10，

∴∠A+∠ABC=90°．

∵DF⊥AB，

∴∠A+∠AED=90°，

∴∠A+∠ABC=∠A+∠AED，即∠ABC=∠AED；

由（1）知，∠AED=∠FEC=∠ECF，

∴BC=ABcos∠ABC=ABcos∠ECF=10× =4，

∴AC= = =2 ．

【解析】（1）连接OC．欲证FC是⊙O的切线，只需证明FC⊥OC即可；（2）连接BC．利用（1）中的∠AED=∠FEC=∠ECF、圆周角定理求得BC=ABcos∠ABC=ABcos∠ECF=10× =4；然后在直角三角形ABC中利用勾股定理求得AC的长度即可．
【考点精析】掌握勾股定理的概念和圆周角定理是解答本题的根本，需要知道直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．