题目内容
【题目】【回归课本】我们曾学习过一个基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.
【初步体验】
(1)如图1,在△ABC中,点D、F在AB上,E、G在AC上,DE∥FC∥BC.若AD=2,AE=1,DF=6,则EG= , = .
(2)如图2,在△ABC 中,点D、F在AB上,E、G在AC上,且DE∥BC∥FG.以AD、DF、FB为边构造△ADM(即AM=BF,MD=DF);以AE、EG、GC为边构造△AEN(即AN=GC,NE=EG).
求证:∠M=∠N.
【深入探究】
上述基本事实启发我们可以用“平行线分线段成比例”解决下列问题:
(3)如图3,已知△ABC和线段a,请用直尺与圆规作△A′B′C′.
满足:①△A′B′C′∽△ABC;②△A′B′C′的周长等于线段a的长度.(保留作图痕迹,并写出作图步骤)
【答案】(1)3、2;(2)证明见解析;(3)作图见解析.
【解析】试题分析:解决本题要用到了平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质、平行线的判定.
(1) 两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例;
(2)要证∠M=∠N,只需证△AMD∽△ANE,只需证,由于DF=DM,EG=EN,BF=AM,GC=AN,只需证,根据“两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例”即可解决问题;
(3)借鉴图2,可进行以下操作:①延长BA到D,使得AD=AC,延长AB到E,使得BE=BC;②过点D画一条线段DF,使得DF=a,连接EF;③过点B作∠DBB′=∠DEF,交DF于点B′,过点A作∠DAA′=∠DEF,交DF于点A′,即可得到AA′∥BB′∥EF;④以点A′为圆心,A′D为半径画弧,以点B′为圆心,B′F为半径画弧,两弧交于点C′;⑤连接A′C′,B′C′,如图4,△A′B′C′即为所求作.
解:(1)如图1,
∵DE∥FG∥BC,
∴,
∴.
∵AD=2,AE=1,DF=6,
∴,
∴EG=3, =2.
故答案分别为:3、2;
(2)如图2,
∵DE∥FG∥BC,
∴,
∴.
∵DF=DM,EG=EN,BF=AM,GC=AN,
∴,
∴△AMD∽△ANE,
∴∠M=∠N;
(3)步骤:
①延长BA到D,使得AD=AC,延长AB到E,使得BE=BC;
②过点D画一条线段DF,使得DF=a,连接EF;
③过点B作∠DBB′=∠DEF,交DF于点B′,过点A作∠DAA′=∠DEF,交DF于点A′;
④以点A′为圆心,A′D为半径画弧,以点B′为圆心,B′F为半径画弧,两弧交于点C′;
⑤连接A′C′,B′C′,如图4,△A′B′C′即为所求作.