题目内容

【题目】【回归课本】我们曾学习过一个基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.

【初步体验】

1)如图1,在ABC中,点DFAB上,EGAC上,DEFCBC.若AD=2AE=1DF=6,则EG= =

2)如图2,在△ABC 中,点DFAB上,EGAC上,且DE∥BC∥FG.以ADDFFB为边构造△ADM(即AM=BFMD=DF);以AEEGGC为边构造△AEN(即AN=GCNE=EG).

求证:∠M=∠N

【深入探究】

上述基本事实启发我们可以用平行线分线段成比例解决下列问题:

3)如图3,已知△ABC和线段a,请用直尺与圆规作△A′B′C′

满足:①△A′B′C′∽△ABC②△A′B′C′的周长等于线段a的长度.(保留作图痕迹,并写出作图步骤)

【答案】(132;(2)证明见解析;(3)作图见解析.

【解析】试题分析:解决本题要用到了平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质、平行线的判定.

1) 两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例;

2)要证M=N,只需证AMD∽△ANE,只需证,由于DF=DMEG=ENBF=AMGC=AN,只需证,根据两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例即可解决问题;

3)借鉴图2,可进行以下操作:延长BAD,使得AD=AC,延长ABE,使得BE=BC过点D画一条线段DF,使得DF=a,连接EF过点B∠DBB′=∠DEF,交DF于点B′,过点A∠DAA′=∠DEF,交DF于点A′,即可得到AA′∥BB′∥EF以点A′为圆心,A′D为半径画弧,以点B′为圆心,B′F为半径画弧,两弧交于点C′连接A′C′B′C′,如图4△A′B′C′即为所求作.

解:(1)如图1

∵DE∥FG∥BC

∵AD=2AE=1DF=6

EG=3=2

故答案分别为:32

2)如图2

∵DE∥FG∥BC

∵DF=DMEG=ENBF=AMGC=AN

∴△AMD∽△ANE

∴∠M=∠N

3)步骤:

延长BAD,使得AD=AC,延长ABE,使得BE=BC

过点D画一条线段DF,使得DF=a,连接EF

过点B∠DBB′=∠DEF,交DF于点B′,过点A∠DAA′=∠DEF,交DF于点A′

以点A′为圆心,A′D为半径画弧,以点B′为圆心,B′F为半径画弧,两弧交于点C′

连接A′C′B′C′,如图4△A′B′C′即为所求作.

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