题目内容
【题目】如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC,设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F.
(1)探究:线段OE与OF的数量关系并加以证明;
(2)当点O运动到何处时,且△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形?
(3)当点O在边AC上运动时,四边形BCFE 是菱形吗?(填“可能”或“不可能”)
【答案】(1)OE=OF.理由见解析;(2)当点O运动到AC的中点,且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时,四边形AECF是正方形.理由见解析;(3)不可能,理由见解析
【解析】试题分析:(1)由直线MN∥BC,MN交∠BCA的平分线于点E,∠BCA的外角平分线与点F,易证得△OEC与△OFC是等腰三角形,则可证得OE=OF=OC;
(2)这是正方形的判定问题,四边形AECF若是正方形,则必有对角线OA=OC,所以O为AC的中点,同样在△ABC中,当∠ACB=90°时,可满足其为正方形;
(3)此问题是菱形的判定问题,若是菱形,则必有四条边相等,对角线互相垂直.
试题解析:(1)OE=OF.理由如下:
∵CE是∠ACB的角平分线,
∴∠ACE=∠BCE,
又∵MN∥BC,
∴∠NEC=∠ECB,
∴∠NEC=∠ACE,
∴OE=OC,
∵OF是∠BCA的外角平分线,
∴∠OCF=∠FCD,
又∵MN∥BC,
∴∠OFC=∠ECD,
∴∠OFC=∠COF,
∴OF=OC,
∴OE=OF;
(2)当点O运动到AC的中点,且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时,四边形AECF是正方形.理由如下:
∵当点O运动到AC的中点时,AO=CO,
又∵EO=FO,
∴四边形AECF是平行四边形,
∵FO=CO,
∴AO=CO=EO=FO,
∴AO+CO=EO+FO,即AC=EF,
∴四边形AECF是矩形.
已知MN∥BC,当∠ACB=90°,则
∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°,
∴AC⊥EF,
∴四边形AECF是正方形;
(3)不可能.理由如下:
如图,∵CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,
∴∠ECF=∠ACB+∠ACD=(∠ACB+∠ACD)=90°,
若四边形BCFE是菱形,则BF⊥EC,
但在△GFC中,不可能存在两个角为90°,所以不存在其为菱形.
故答案为不可能.