题目内容

【题目】如图,ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MNBC,设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F

1)探究:线段OEOF的数量关系并加以证明;

2)当点O运动到何处时,且ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形?

3)当点O在边AC上运动时,四边形BCFE   是菱形吗?(填可能不可能

【答案】(1)OE=OF.理由见解析;(2当点O运动到AC的中点,且ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时,四边形AECF是正方形.理由见解析;(3不可能,理由见解析

【解析】试题分析:(1)由直线MN∥BC,MN交∠BCA的平分线于点E,∠BCA的外角平分线与点F,易证得△OEC与△OFC是等腰三角形,则可证得OE=OF=OC;

(2)这是正方形的判定问题,四边形AECF若是正方形,则必有对角线OA=OC,所以OAC的中点,同样在△ABC中,当∠ACB=90°时,可满足其为正方形;

(3)此问题是菱形的判定问题,若是菱形,则必有四条边相等,对角线互相垂直.

试题解析:1OE=OF.理由如下:

CE是∠ACB的角平分线,

∴∠ACE=BCE

又∵MNBC

∴∠NEC=ECB

∴∠NEC=ACE

OE=OC

OF是∠BCA的外角平分线,

∴∠OCF=FCD

又∵MNBC

∴∠OFC=ECD

∴∠OFC=COF

OF=OC

OE=OF

2)当点O运动到AC的中点,且ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时,四边形AECF是正方形.理由如下:

∵当点O运动到AC的中点时,AO=CO

又∵EO=FO

∴四边形AECF是平行四边形,

FO=CO

AO=CO=EO=FO

AO+CO=EO+FO,即AC=EF

∴四边形AECF是矩形.

已知MNBC,当∠ACB=90°,则

AOF=COE=COF=AOE=90°

ACEF

∴四边形AECF是正方形;

3)不可能.理由如下:

如图,∵CE平分∠ACBCF平分∠ACD

∴∠ECF=ACB+ACD=ACB+ACD=90°

若四边形BCFE是菱形,则BFEC

但在GFC中,不可能存在两个角为90°,所以不存在其为菱形.

故答案为不可能.

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