Question

如图，经过原点的两条直线、分别与双曲线相交于A、B、P、Q四点，其中A、P两点在第一象限，设A点坐标为（3，1）．
（1）求值及点坐标；（4分）
（2）若P点坐标为（a，3），求a值及四边形APBQ的面积；（4分）
（3）若P点坐标为（m，n），且，求P点坐标．（4分）

Answer 1

（1）k=3，B点坐标为（﹣3，﹣1）；
（2）a=1，四边形APBQ的面积为16；
（3P点坐标为（1，3）．

解析试题分析：（1）根据分别莲花山图象上点的坐标特征得到k=3×1=3，再根据正比例函数图象和反比例函数图象的性质得到点A与点B关于原点对称，则B点坐标为（﹣3，﹣1）；
（2）根据反比例函数图象上点的坐标特征得到a=1，即P点坐标为（1，3），再根据正比例函数图象和反比例函数图象的性质得到点P与点Q关于原点对称，所以点Q的坐标为（﹣1，﹣3），由于OA=OB，OP=OQ，则根据平行四边形的判定得到四边形APBQ为平行四边形，然后根据两点间的距离公式计算出AB，PQ，可得到即AB=PQ，于是可判断四边形APBQ为矩形，再计算出PA和PB，然后计算矩形APBQ的面积；
（3）由于四边形APBQ为平行四边形，加上∠APB=90°，则可判断四边形APBQ为矩形，则OP=OA，根据两点间的距离公式得到m²+n²=10，且mn=3，则利用完全平方公式得到（m+n）²﹣2mn=10，可得到m+n=4，根据根与系数的关系可把m、n看作方程x²﹣4x+3=0的两根，然后解方程可得到满足条件的P点坐标．
试题解析：（1）把A（3，1）代入y=得k=3×1=3，
∵经过原点的直线l₁与双曲线y=（k≠0）相交于A、B、
∴点A与点B关于原点对称，
∴B点坐标为（﹣3，﹣1）；
（2）把P（a，3）代入y=得3a=3，解得a=1，
∵P点坐标为（1，3），
∵经过原点的直线l₂与双曲线y=（k≠0）相交于P、Q点，
∴点P与点Q关于原点对称，
∴点Q的坐标为（﹣1，﹣3），
∵OA=OB，OP=OQ，
∴四边形APBQ为平行四边形，
∵AB²=（3+3）²+（1+1）²=40，PA²=（1+1）²+（3+3）²=40，
∴AB=PQ，
∴四边形APBQ为矩形，
∵PB²=（1+3）²+（3+1）²=32，PQ²=（3﹣1）²+（1﹣3）²=8，
∴PB=4，PQ=2，
∴四边形APBQ的面积=PA•PB=2•4=16；
（3）∵四边形APBQ为平行四边形，
而∠APB=90°，
∴四边形APBQ为矩形，
∴OP=OA，
∴m²+n²=3²+1²=10，
而mn=3，
∵（m+n）²﹣2mn=10，
∴（m+n）²=16，解得m+n=4或m+n=﹣4（舍去），
把m、n看作方程x²﹣4x+3=0的两根，解得m=1，n=3或m=3，n=1（舍去），
∴P点坐标为（1，3）．
考点：反比例函数综合题．