Question

如图，矩形OABC的顶点B的坐标为(1，2)，反比例函数y＝(0<m<2)的图象与AB交于点E，与BC交于点F，连接OE、OF、EF．
(1)若点E是AB的中点，则m＝     ，S△OEF＝       ；
(2)若S_△OEF＝2S_△BEF，求点E的坐标；
(3)是否存在点E及y轴上的点M，使得△MFE与△BFE全等?若存在，写出此时点E的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）m=1；S_△OEF= ；
(2)点E的坐标为（1，）
（3）存在；E点坐标为（1， ）

解析试题分析：（1）先得到E点坐标为（1，1），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得到k=1，再利用F的纵坐标为2可确定F点坐标为（ ，2），则可根据S_△OEF=S_矩形ABCO-S_△AOE-S_△OCF-S_△BEF进行计算；
（2）由题意，E（1，m)，F(,2),可表示出△BEF的面积,进而可表示出△OEF与△BEF的面积之和,从而可得到m的值，进而得到点E的坐标；
作EH⊥y轴于C，如图，设E点坐标为（1，m），则F（ ，2），：
由于m＜2，则由△MFE≌△BFE得到MF="BF=1-m"
ME=BE=2-m，∠FME=90°，易证得Rt△CFM∽Rt△HME，利用相似比可得到MH=m，然后在Rt△MHM中，根据勾股定理得1²+m²=（2-km）²，解得m= ，则E点坐标为（1，）
试题解析：（1）∵B点坐标为（1，2），点E是AB的中点，AB⊥X轴，
∴E点坐标为（1，1），
∵点E在函数为y=上，
∴1=，
∴m=1
把y=2代入y=得 =2，解得x=，
∴F点坐标为（ ，2），
∴S_△OEF=S_矩形ABCO-S_△AOE-S_△OCF-S_△BEF
=1×2-×1×1 -××2-× × 1
= ；
(2)根据题意，E（1，m)，F(,2)
∴S_△BEF=，
∵S_△OAE=S_△OCF=
∴S_△BEF+S_△OEF=2-m，
∵S_△OEF=2S_△BEF，
∴S_△BEF=，
∴=，
解得，m=2（舍去）,或m=
∴点E的坐标为（1，）
（3）作EH⊥y轴于C，如图，

设E点坐标为（1，m），则F（，2），
当m＜2时，
∵△MFE≌△BFE，
∴MF=BF=1- ，ME=BE=2-m，∠FME=90°，
∴Rt△CFM∽Rt△HME，
∴MF：ME=CF：MH，
∴MH==m，
在Rt△MHM中，HE=1，
∴HE²+MH²=ME²，
∴1²+m²=（2-m）²，解得m= ，
∴E点坐标为（1， ）
考点：1、反比例函数图象上点的坐标特征；2、三角形全等的性质和矩形性质；3、勾股定理；4、相似比