题目内容
【题目】如图，
和
是有公共顶点的直角三角形，
，点
为射线
，
的交点．
（1）如图1，若和是等腰三角形，求证：
；
（2）如图2，若
，问：（1）中的结论是否成立？请说明理．
（3）在（1）的条件下，
，
，若把绕点
旋转，当
时，请直接写出
的长度．
【答案】（1）详见解析；（2）（1）中结论成立，详见解析；（3）
或
【解析】
（1）利用SAS证
，可得出
；
（2）根据直角三角形边的关系，可得
，从而证
，最终得出角度关系；
（3）存在2种情况，一种是点E在线段AB上，另一种是点E在AB的反向延长线上，分别利用相似的关系推导可得．
（1）
和
是等腰直角三角形，
，
，
，
．
．
．
（2）（1）中结论成立，理由：
在
中，
，
，
在
中，
，
，
．
，
，
．
．
（3）情况一：如下图，点E在线段AB上
由第（1）问可得：△BAD≌△CAE
∴∠ABD=∠ACE
∵∠ADB=∠PDC
∴△ABD∽△PCD
∴
∵AB=AC=6，AD=AE=4,
∴DC=10
∴在Rt△BAD中，DB=
∴DP=
∴PB=
情况二：如下图，点E在BA的延长线上
同理可证：△AEC∽△PEB
∴
∵AB=AC=6，AD=AE=4,
∴EB=10
∴在Rt△AEC中，EC=
∴BP=
∴综上得：
的长为或
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