Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣ x2+bx+c的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（﹣4，0）．

（1）求该二次函数的表达式及点C的坐标；
（2）点D的坐标为（0，4），点F为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD、CF，以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF，设平行四边形CDEF的面积为S．
①求S的最大值；
②在点F的运动过程中，当点E落在该二次函数图象上时，请直接写出此时S的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（0，8），B（﹣4，0）代入y=﹣ x2+bx+c得 ，解得 ，

所以抛物线的解析式为y=﹣ x2+x+8；

当y=0时，﹣ x2+x+8=0，解得x1=﹣4，x2=8，

所以C点坐标为（8，0）

（2）

解：①连结OF，如图，

设F（t，﹣ t2+t+8），

∵S四边形OCFD=S△CDF+S△OCD=S△ODF+S△OCF，

∴S△CDF=S△ODF+S△OCF﹣S△OCD= 4t+ 8（﹣ t2+t+8）﹣ 48

=﹣t2+6t+16

=﹣（t﹣3）2+25，

当t=3时，△CDF的面积有最大值，最大值为25，

∵四边形CDEF为平行四边形，

∴S的最大值为50；

②∵四边形CDEF为平行四边形，

∴CD∥EF，CD=EF，

∵点C向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D，

∴点F向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点E，即E（t﹣8，﹣ t2+t+12），

∵E（t﹣8，﹣ t2+t+12）在抛物线上，

∴﹣ （t﹣8）2+t﹣8+8=﹣ t2+t+12，解得t=7，

当t=7时，S△CDF=﹣（7﹣3）2+25=9，

∴此时S=2S△CDF=18．

【解析】（1）把A点和B点坐标代入y=﹣ x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线的解析式；然后计算函数值为0时对应的自变量的值即可得到C点坐标（2）①连结OF，如图，设F（t，﹣ t2+t+8），利用S四边形OCFD=S△CDF+S△OCD=S△ODF+S△OCF ， 利用三角形面积公式得到S△CDF=﹣t2+6t+16，再利用二次函数的性质得到△CDF的面积有最大值，然后根据平行四边形的性质可得S的最大值； ②由于四边形CDEF为平行四边形，则CD∥EF，CD=EF，利用C点和D的坐标特征可判断点C向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D，则点F向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点E，即E（t﹣8，﹣ t2+t+12），然后把E（t﹣8，﹣ t2+t+12）代入抛线解析式得到关于t的方程，再解方程求出t后计算△CDF的面积，从而得到S的值．本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质，掌握点平移的坐标规律．