Question

【题目】如图，O是△ABC内一点，⊙O与BC相交于F、G两点，且与AB、AC分别相切于点D、E，DE∥BC，连接DF、EG．

（1）求证：AB=AC．
（2）已知AB=10，BC=12，求四边形DFGE是矩形时⊙O的半径．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵AD、AE是⊙O的切线，

∴AD=AE，

∴∠ADE=∠AED，

∵DE∥BC，

∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，

∴∠B=∠C，

∴AB=AC；

（2）

解：如图，连接AO，交DE于点M，延长AO交BC于点N，连接OE、DG，设⊙O半径为r，

∵四边形DFGE是矩形，

∴∠DFG=90°，

∴DG是⊙O直径，

∵⊙O与AB、AC分别相切于点D、E，

∴OD⊥AB，OE⊥AC，

∵OD=OE，OE⊥AC，

∵OD=OE．

∴AN平分∠BAC，∵AB=AC，

∴AN⊥BC，BN= BC=6，

在RT△ABN中，AN= = =8，

∵OD⊥AB，AN⊥BC，

∴∠ADO=∠ANB=90°，

∵∠OAD=∠BAN，

∴△AOD∽△ABN，

∴ = ，即 = ，

∴AD= r，

∴BD=AB﹣AD=10﹣ r，

∵OD⊥AB，

∴∠GDB=∠ANB=90°，

∵∠B=∠B，

∴△GBD∽△ABN，

∴ = ，即 = ，

∴r= ，

∴四边形DFGE是矩形时⊙O的半径为

【解析】（1）由切线长定理可知AD=AE，易得∠ADE=∠AED，因为DE∥BC，由平行线的性质得∠ADE=∠B，∠AED=∠C，可得∠B=∠C，易得AB=AC；（2）如图，连接AO，交DE于点M，延长AO交BC于点N，连接OE、DG，设⊙O半径为r，由△AOD∽△ABN得 = ，得到AD= r，再由△GBD∽△ABN得 = ，列出方程即可解决问题．
【考点精析】关于本题考查的矩形的性质和切线的性质定理，需要了解矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等；切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径才能得出正确答案．