Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，边长为6的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，直线y=mx+2与OC，BC两边分别相交于点D，G，以DG为边作菱形DEFG，顶点E在OA边上．

（1）如图1，顶点F在边AB上，当CG=OD时，

求m的值；

菱形DEFG是正方形吗?如果是请给予证明.

（2）如图2，连接BF，设CG=a，△FBG的面积为S，求S与a的函数关系式；

（3）如图3，连接GE，当GD平分∠CGE时，请直接写出m的值．

Answer 1

【答案】（1）m=2证明见解析（2）①2；6﹣a（3）m=

【解析】试题分析：（1）将x=0代入y=mx+2得y=2，故此点D的坐标为（0，2），由CG=OD=2可知点G的坐标为（2，6），将点G（2，6）代入y=mx+2可求得m=2；

（2）如图1所示：过点F作FH⊥BC，垂足为H，延长FG交y轴与点N．先证明Rt△GHF≌Rt△EOD，从而得到FH=DO=2，由三角形的面积公式可知：S=6-a．

（3）如图2所示：连接DF交EG于点M，过点M作MN⊥y轴，垂足为N．由菱形的性质可知：DM⊥GM，点M为DF的中点，根据角平分线的性质可知：MD=CD=4，由中点坐标公式可知点M的纵坐标为3，于是得到ND=1，根据勾股定理可求得MN=，于是得到点M的坐标为（，3）然后利用待定系数法求得DM、GM的解析式，从而可得到点G的坐标，最后将点G的坐标代入y=mx+2可求得m=．

解：（1）∵将x=0代入y=mx+2得；y=2，∴点D的坐标为（0，2）．

∵CG=OD=2，∴点G的坐标为（2，6）．

将点G（2，6）代入y=mx+2得：2m+2=6．解得：m=2．

证明△DOE≌△GCD（HL），再证明∠GDE=90°，即可证出菱形GDEF为正方形.

（2）①如图1所示：过点F作FH⊥BC，垂足为H，延长FG交y轴与点N．

∵四边形DEFG为菱形，∴GF=DE，GF∥DE．∴∠GNC=∠EDO．

∴∠NGC=∠DEO．∴∠HGF=∠DEO．

在Rt△GHF和Rt△EOD中，

，

∴Rt△GHF≌Rt△EOD．∴FH=DO=2．

∴=×2×（6﹣a）=6﹣a．

（3）如图2所示：连接DF交EG于点M，过点M作MN⊥y轴，垂足为N．

又∵四边形DEFG为菱形，

∴DM⊥GM，点M为DF的中点．

∵GD平分∠CGE，DM⊥GM，GC⊥OC，

∴MD=CD=4．

∵由（2）可知点F的坐标为4，点D的纵坐标为2，

∴点M的纵坐标为3．

∴ND=1．

在Rt△DNM中，MN==．

∴点M的坐标为（，3）．

设直线DM的解析式为y=kx+2．将（，3）代入得：k+2=3．

解得：k=．

∴设直线MG的解析式为y=x+b．将（，3）代入得：﹣15+b=3．

解得：b=18．

∴直线MG的解析式为y=﹣x+18．

将y=6代入得：．

解得：x=．

∴点G的坐标为（，6）．

将（，6）代入y=mx+2得：m+2=6．

解得：m=．