Question

【题目】已知：如图，二次函数的图象交轴于点和点（点在点左则），交轴于点，作直线是直线上方抛物线上的一个动点．过点作 直线平行于直线是直线 上的任意点，是直线上的任意点，连接，始终保持为，以和边，作矩形．

（1）在点移动过程中，求出当的面积最大时点的坐标；在的面积最大 时，求矩形的面积的最小值．

（2）在的面积最大时，线段交直线于点，当点四个点组成平行 四边形时，求此时线段与抛物线的交点坐标．

Answer 1

【答案】（1）点坐标为，矩形的最小值为；（2）交点坐标为（3+，﹣），（3﹣，﹣），（1﹣，），（1+，）．

【解析】

（1）当△DEB的面积最大时，直线DN与抛物线相切，可求出直线DN的解析式和点D的坐标，当矩形面积最小时，MG最小，求出MG的最小值即可．

（2）分两种情况讨论，以DB为边和以DB为对角线，分别求出此时ON的解析式，联立求出交点坐标即可．

解：（1）如图1所示，过点D作y轴的平行线交MB于点H，过点O作OQ垂直MB于点Q，

令y＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，

∴A（﹣1，0），B（4，0），

令x＝0，y＝2，

∴E（0，2），

设直线BE的解析式为y＝kx+b，则

解得，

∴直线BE的解析式为y＝﹣x+2，

∵DN∥BE，

∴设直线DN的解析式为y＝﹣x+b1，

S△DEB＝DH（xB﹣xE），

∴当△DEB面积最大时，即是DH最大的时候，

∴﹣x+b1＝﹣x2+x+2，

△＝b2﹣4ac＝0，即16﹣4（2b1﹣4）＝0，

解得b1＝4，点D（2，3），

S矩＝2S△MOG+S平形四边形，

∴矩形面积最小时就是MG最小，

设QG＝m，MQ＝n，

∴MG＝m+n，

∵m+n≥2，

∵△QOG∽△MQO，

∴OQ2＝mn，

∵△OEQ∽△EOB，

∴OQ＝，

∴mn＝，

∴m+n的最小值为．

∴MG＝，

∴S矩＝2S△MOG+S平形四边形＝．

（2）分两种情况讨论，

情况一：当GN∥DB时，

直线DB的解析式为：y＝﹣x+6，

则直线NG的解析式为y＝﹣x，

∴﹣x＝﹣x2+x+2，

解得x1＝3+，x2＝3﹣，

∴交点坐标为（3+，﹣），（3﹣，﹣），

情况二：DB为对角线时，此时NG必过DB的中点（3，），

设直线ON的解析式为y＝k1x，

则k1＝，

∴直线OD的解析式为y＝x，

＝﹣x2+x+2，

解得x1＝1﹣，x2＝1+，

∴交点坐标为（1﹣，），（1+，），

综上所述：交点坐标为（3+，﹣），（3﹣，﹣），（1﹣，），（1+，）．