题目内容
【题目】如图,△ABC和△DEF均是边长为4的等边三角形,△DEF的顶点D为△ABC的一边BC的中点,△DEF绕点D旋转,且边DF、DE始终分别交△ABC的边AB、AC于点H、G.图中直线BC两侧的图形关于直线BC成轴对称.连结HH′、HG、GG′、H′G′,其中HH′、GG′分别交BC于点I、J.
(1)求证:△DHB∽△GDC;
(2)设CG=x,四边形HH′G′G的面积为y,
①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围;
②求当x为何值时,y的值最大,最大值为多少?
【答案】(1)证明见解析;(2)①y=(+x)(4--)(1≤x≤4);②x=2,y最大=4.
【解析】
试题分析:此题是几何变换综合题,主要考查相似三角形的性质和判定以及对称的性质,用x表示线段是解决本题的关键,也是难点.
(1)由等边三角形的特点得到相等关系,即可;
(2)由相似三角形得到=,再结合对称,表示出相关的线段,四边形HH′G′G的面积为y求出即可.
试题解析:(1)在正△ABC中,∠ABC=∠ACB=60°,
∴∠BHD+∠BDH=120°,
在正△DEF中,∠EDF=60°,
∴∠GDC+∠BDH=120°,
∴∠BHD=∠GDC,
∴△DHB∽△GDC;
(2)①∵D为BC的中点,
∴BD=CD=2,
由△DHB∽△GDC,
∴=,即=,
得BH=,
∵H,H′和G,G′关于BC对称,
∴HH′⊥BC,GG′⊥BC,
∴在RT△BHI中,BI=BH=,HI=BH=,
在RT△CGJ中,CJ=CG=,GJ=CG=,
∴HH′=2HI=,GG′=2GJ=x,IJ=4--,
∴y=(+x)(4--)(1≤x≤4),
②由①得,y=+2(+x),
设+x=a,得y=-a2+2a,
当a=4时,y最大=4,
此时+x=4,解得x=2.