题目内容

【题目】设函数(其中k为常数).

(1)当k=-2时,函数y存在最值吗?若存在,请求出这个最值;

(2)在x>0时,要使函数y的的值随x的增大而减小,求k应满足的条件;

(3)若函数y的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,求能使ABC为等腰三角形的k的值.(分母保留根号,不必化简)

【答案】(1)x=-时,y最大=(2)k0;(3)k=3,k=,k=,k=-.

【解析】

试题分析:本题考查二次函数的有关知识、一次函数的有关知识,掌握函数的性质是解决问题的关键,学会分类讨论的思想,属于中考常考题型.

(1)把k=-2代入抛物线解析式得到y=-2x2-5x-3,根据顶点坐标公式即可解决.

(2)分两种情形讨论当k=0时,y=-3x-3为一次函数,k=-3<0,则当x>0时,y随x的增大而减小;当k≠0时,y=(kx-3)(x+1)=kx2+(k-3)x-3为二次函数,由不等式组解决.

(3)分三种情形讨论:当k>0时AC=BC,AC=AB,AB=BC分别列出方程解决;当k<0时,B只能在A的左侧,只有AC=AB列出方程解决,当k=0时,不合题意.

试题解析:(1)当k=-2时,函数y=(-2x-3)(x+1)=-(2x+3)(x+1)

函数为二次函数,且二次项系数小于0,故函数存在最大值,

当x=-时,y最大=

(2)当k=0时,y=-3x-3为一次函数,-3<0,则当x>0时,y随x的增大而减小;

当k0时,y=(kx-3)(x+1)为二次函数,其对称轴为直线x==-,要使当x>0时,y随x的增大而减小,则抛物线的开口必定朝下,且对称轴不在y轴的右边.

故得,

解得k<0,

综上所述,k应满足的条件是:k0.

(3)由题意得,k0,函数为二次函数.

由所给的抛物线解析式可得A,C为定值A(-1,0),C(0,-3)AC=,而B(,0),

(1)k>0,则可得,

AC=BC,则有=,可得k=3,

AC=AB,则有+1=,可得k=

AB=BC,则有+1=,可得k=,

k<0,B只能在A的左侧,

只有AC=AB,则有--1=,可得k=-.

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