题目内容
【题目】设函数(其中k为常数).
(1)当k=-2时,函数y存在最值吗?若存在,请求出这个最值;
(2)在x>0时,要使函数y的的值随x的增大而减小,求k应满足的条件;
(3)若函数y的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,求能使△ABC为等腰三角形的k的值.(分母保留根号,不必化简)
【答案】(1)x=-时,y最大=;(2)k≤0;(3)k=3,k=,k=,k=-.
【解析】
试题分析:本题考查二次函数的有关知识、一次函数的有关知识,掌握函数的性质是解决问题的关键,学会分类讨论的思想,属于中考常考题型.
(1)把k=-2代入抛物线解析式得到y=-2x2-5x-3,根据顶点坐标公式即可解决.
(2)分两种情形讨论当k=0时,y=-3x-3为一次函数,k=-3<0,则当x>0时,y随x的增大而减小;当k≠0时,y=(kx-3)(x+1)=kx2+(k-3)x-3为二次函数,由不等式组解决.
(3)分三种情形讨论:当k>0时①AC=BC,②AC=AB,③AB=BC分别列出方程解决;当k<0时,B只能在A的左侧,只有AC=AB列出方程解决,当k=0时,不合题意.
试题解析:(1)当k=-2时,函数y=(-2x-3)(x+1)=-(2x+3)(x+1),
函数为二次函数,且二次项系数小于0,故函数存在最大值,
当x=-时,y最大=;
(2)当k=0时,y=-3x-3为一次函数,-3<0,则当x>0时,y随x的增大而减小;
当k≠0时,y=(kx-3)(x+1)为二次函数,其对称轴为直线x==-,要使当x>0时,y随x的增大而减小,则抛物线的开口必定朝下,且对称轴不在y轴的右边.
故得,,
解得k<0,
综上所述,k应满足的条件是:k≤0.
(3)由题意得,k≠0,函数为二次函数.
由所给的抛物线解析式可得A,C为定值A(-1,0),C(0,-3)则AC=,而B(,0),
(1)k>0,则可得,
①AC=BC,则有=,可得k=3,
②AC=AB,则有+1=,可得k=,
③AB=BC,则有+1=,可得k=,
④k<0,B只能在A的左侧,
只有AC=AB,则有--1=,可得k=-.