题目内容
已知:如图,四边形ABCD为菱形,AF⊥AD交BD于点E,交BC于点F.
(1)求证:AD2=
DE•DB;
(2)过点E作EG⊥AF交AB于点G,若线段BE、DE(BE<DE)的长是方程x2-3mx+2m2=0(m>0)的两个根,且菱形ABCD的面积为6
,求EG的长.
(1)求证:AD2=
1 |
2 |
(2)过点E作EG⊥AF交AB于点G,若线段BE、DE(BE<DE)的长是方程x2-3mx+2m2=0(m>0)的两个根,且菱形ABCD的面积为6
3 |
解法一:(1)证明:连接AC交BD于点O(1分)
∵四边形ABCD为菱形
∴AC⊥BD,BO=OD(2分)
∵AE⊥AD
∴△AOD∽△EAD
∴
=
(3分)
∴AD2=OD×ED
∴AD2=
DE×BD(4分)
(2)解方程x2-3mx+2m2=0得x1=m,x2=2m
∵BE<DE
∴BE=m,DE=2m(5分)
∵AD2=
DE×BD
∴AD=
m(6分)
在Rt△ADE中,DE=2m,AD=
m
∴AE=m,∠ADB=30°
在Rt△BEF中,∠EBF=30°,BE=m
∴EF=
m,∴AF=
m(7分)
∵SABCD=AD×AF=
m×
m=6
∴m2=4
∴m=±2(负值舍去)
∴m=2(8分)
∵EG⊥AF,AD⊥AF
∴GE∥AD
∴
=
∴GE=
(9分)
解法二:(1)证:取DE的中点G,连接AG.(1分)
在Rt△EAD中,AG=DG=EG
∴∠GAD=∠GDA(2分)
∵四边形ABCD为菱形
∴AB=AD
∴∠ABD=∠ADB
∴∠GAD=∠ABD,∠ADB=∠ADB
∴△ADG∽△BDA(3分)
∴
=
∴AD2=DG×BD=
DE×BD(4分)
(2)∵x2-3mx+2m2=0
∴x1=m,x2=2m
∵BE<DE
∴BE=m,DE=2m(5分)
∵AD2=
DE×BD
∴AD=
m(6分)
Rt△AOD中,AD=
m,OD=
m,
∴AO=
m,
∴AC=
m(7分)
∵SABCD=
AC×BD=
×
m×3m=6
∴m2=4,∴m=±2(负值舍去)
∴m=2(8分)
∵EG⊥AE,AD⊥AF
∴GE∥AD
∴
=
∴GE=
(9分)
∵四边形ABCD为菱形
∴AC⊥BD,BO=OD(2分)
∵AE⊥AD
∴△AOD∽△EAD
∴
AD |
OD |
ED |
AD |
∴AD2=OD×ED
∴AD2=
1 |
2 |
(2)解方程x2-3mx+2m2=0得x1=m,x2=2m
∵BE<DE
∴BE=m,DE=2m(5分)
∵AD2=
1 |
2 |
∴AD=
3 |
在Rt△ADE中,DE=2m,AD=
3 |
∴AE=m,∠ADB=30°
在Rt△BEF中,∠EBF=30°,BE=m
∴EF=
1 |
2 |
3 |
2 |
∵SABCD=AD×AF=
3 |
3 |
2 |
3 |
∴m2=4
∴m=±2(负值舍去)
∴m=2(8分)
∵EG⊥AF,AD⊥AF
∴GE∥AD
∴
GE |
AD |
BE |
BD |
∴GE=
2
| ||
3 |
解法二:(1)证:取DE的中点G,连接AG.(1分)
在Rt△EAD中,AG=DG=EG
∴∠GAD=∠GDA(2分)
∵四边形ABCD为菱形
∴AB=AD
∴∠ABD=∠ADB
∴∠GAD=∠ABD,∠ADB=∠ADB
∴△ADG∽△BDA(3分)
∴
AD |
BD |
DG |
AD |
∴AD2=DG×BD=
1 |
2 |
(2)∵x2-3mx+2m2=0
∴x1=m,x2=2m
∵BE<DE
∴BE=m,DE=2m(5分)
∵AD2=
1 |
2 |
∴AD=
3 |
Rt△AOD中,AD=
3 |
3 |
2 |
∴AO=
| ||
2 |
∴AC=
3 |
∵SABCD=
1 |
2 |
1 |
2 |
3 |
3 |
∴m2=4,∴m=±2(负值舍去)
∴m=2(8分)
∵EG⊥AE,AD⊥AF
∴GE∥AD
∴
GE |
AD |
BE |
BD |
∴GE=
2
| ||
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