Question

（本小题满分12分）如图，四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）．点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP垂直x轴于点P，连接AC交NP于Q，连接MQ．

（1）点     （填M或N）能到达终点；
（2）求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大；
（3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）M；（2），当时，S的值最大；（3）存在，点M的坐标为（1，0）或（2，0），理由见试题解析．

试题分析：（1）（BC÷点N的运动速度）与（OA÷点M的运动速度）可知点M能到达终点．
（2）经过t秒时可得NB=y，OM﹣2t．根据∠BCA=∠MAQ=45°推出QN=CN，PQ的值．求出S与t的函数关系式后根据t的值求出S的最大值．
（3）本题分两种情况讨论（若∠AQM=90°，PQ是等腰Rt△MQA底边MA上的高；若∠QMA=90°，QM与QP重合）求出t值．
试题解析：（1）点M．
（2）经过秒时，NB=，OM=，则CN=，AM=，∵A（4，0），C（0，4），∴AO=CO=4，∵∠AOC=90°，∴∠BCA=∠MAQ=45°，∴QN=CN=，∴PQ=，
∴S_△AMQ=AM•PQ==．∴，∴，∵，∴当时，S的值最大．
（3）存在．
设经过秒时，NB=，OM=，则CN=，AM=，∴∠BCA=∠MAQ=45°．
①若∠AQM=90°，则PQ是等腰Rt△MQA底边MA上的高，∴PQ是底边MA的中线，∴PQ=AP=MA，
∴，∴，∴点M的坐标为（1，0）．
②若∠QMA=90°，此时QM与QP重合，∴QM=QP=MA，∴，解得：，∴点M的坐标为（2，0）．