题目内容
【题目】一个直角三角形的两条直角边分别为
、
，斜边为
.我国古代数学家赵爽用四个这样的直角三角形拼成了如图的正方形，
（1）探究活动：如图1，中间围成的小正方形的边长为 （用含有
、
的代数式表示）；
（2）探究活动：如图1，用不同的方法表示这个大正方形的面积，并写出你发现的结论；
图1 图2
（3）新知运用：根据你所发现的结论完成下列问题.
①某个直角三角形的两条直角边
、
满足式子
，求它的斜边
的值；
②由①中结论，此三角形斜边
上的高为 ．
③如图2，这个勾股树图形是由正方形和直角三角形组成的，若正方形
、
、
、
的面积分别为
，4， 
， 
．则最大的正方形
的边长是 ．
【答案】（1）b-a; (2) 
;(3) ①
, ②2.4, ③3
【解析】分析：(1)小正方形的边长为较长的直角边减去较短的直角边；(2)大正方形的面积等于4个直角三角形的面积＋中间的小正方形的面积；(3)①把原式用完全平方差公式化为非负数的和求a，b后，用勾股定理求c；②用三角形的面积公式求斜边上的高；③分别以直角三角形斜边，直角边向外作正方形，则以斜边为边的正方形的面积等于以直角边为边的正方形的面积的和.
详解：(1)中间围成的小正方形的边长为较长的直角边减去较短的直角边，即b－a；
(2)因为大正方形的面积等于4个直角三角形的面积＋中间的小正方形的面积，
所以c2＝4×
×ab＋(b－a)2，化简得a2＋b2＝c2.
(3)①a2＋2b2－6a－16b＋41＝0，
则a2－6a＋9＋2b2－16b＋32＝0，
即(a－3)2＋2(b－4)2＝0，
所以a－3＝0，b－4＝0，则a＝3，b＝4.
由勾股定理得c＝
＝5.
②设斜边c上的高为h，
因为2S＝ab＝ch，所以3×4＝5h，解得h＝2.4.
③由图可知，正方形E的面积等于正方形A，B，C，D的面积的和，
所以正方形E的面积为2＋4＋1＋2＝9，
所以正方形E的边长为3.
