题目内容
【题目】某商店计划购进某型号的螺丝、螺母进行销售，有关信息如下表：
原进价（元/个） | 零售价（元/个） | 成套售价（元/套） | |
螺丝 | a | 1.0 | 2.0 |
螺母 | a﹣0.3 | 0.6 | 2.0 |
（1）已知用50元购进螺丝的数量与用20元购进螺母的数量相同，求表中a的值；
（2）若该店购进螺母数量是螺丝数量的3倍还多200个，且两种配件的总量不超过3000个．
①该店计划将一半的螺丝配套（一个螺丝和两个螺母配成一套）销售，其余螺丝、螺母以零售方式销售．请问：怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？（用含a的代数式表示）
②由于原材料价格上涨，每个螺丝和螺母的进价都上涨了0.1元．按照①中的最佳进货方案，在销售价不变的情况下，全部售出后，所得利润比①少了260元，请问本次成套的销售量为多少？
【答案】（1）a=0.5；（2）①购进螺丝700个,购进螺母2300，利润为2700－3000a;②成套的销售量为150套
【解析】分析：（1）根据用50元购进螺丝的数量与用20元购进螺母的数量相同找出等量关系列方程求解，解分式方程要验根；
（2）①设购进螺丝x个，则购进螺母（3x+200）个，根据两种配件的总量不超过3000个列不等式求出x的取值范围；然后根据总利润=成套卖的利润+单卖螺丝的利润+单卖螺母的利润列出一次函数关系式求解；②设成套的销售量为m套，则零售的螺丝为（700﹣m）个，零售的螺母为（2300﹣2m）个，结合①中求得最大利润列方程求解.
详解：（1）依题意得
a=0.5，
经检验：a=0.5是原方程的解，且符合题意．
（2）①设购进螺丝x个，则购进螺母（3x+200）个，依题意得
x+（3x+200）≤3000，
x≤700，
则成套的卖出时利润为：
x[2﹣a﹣2（a﹣0.3）]元；单个螺丝的利润为： x（1﹣a）；
单个螺母的利润为：（3x+200﹣x）[0.6﹣（a﹣0.3）]，
设利润为y元，则
，
=（3.6﹣4a）x+（180﹣200a）.
解法一：
由已知得
，
解得a＜0.9.
∵当a＜0.9时，k=3.6﹣4a＞0，
∴函数y=（3.6﹣4a）x+（180﹣200a）中的y随x增大而增大．
∴当x=700时，y最大=2700﹣3000a.
解法二：
分两种情况讨论：
当3.6﹣4a＞0，即a＜0.9时，函数y=（3.6﹣4a）x+（180﹣200a）中的y随x增大而增大．
∴当x=700时，y最大=2700﹣3000a，
当3.6﹣4a≤0时，a≥0.9.
∵根据成套销售价应高于成本价可得：a+2（a﹣0.3）≤2，即a≤
，
∴此时不符合题意，舍去.
②设成套的销售量为m套，则零售的螺丝为（700﹣m）个，零售的螺母为（2300﹣2m）个，依题意得：
m[2﹣a﹣2（a﹣0.3）﹣0.3]+（700﹣m）（1﹣a﹣0.1）+（2300﹣2m）[0.6﹣（a﹣0.3）﹣0.1]=﹣0.2m﹣3000a+2470，
故：﹣0.2m﹣3000a+2470=2700﹣3000a﹣260，
解得：m=150，
故成套的销售量为150套．
