Question

如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（-1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD．
（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S_{四边形ABDC}；
（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使S_△PAB=S_{四边形ABDC}？若存在这样一点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；
（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）给出下列结论：
①

∠DCP+∠BOP

∠CPO

的值不变，②

∠DCP+∠CPO

∠BOP

的值不变，
其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值．

Answer 1

（1）依题意，得C（0，2），D（4，2），
∴S_{四边形ABDC}=AB×OC=4×2=8；

（2）存在．
设点P到AB的距离为h，
S_△PAB=

1

2

×AB×h=2h，
由S_△PAB=S_{四边形ABDC}，得2h=8，解得h=4，
∴P（0，4）或（0，-4）；

（3）结论①正确，
过P点作PE∥AB交OC与E点，
∵AB∥PE∥CD，
∴∠DCP+∠BOP=∠CPE+∠OPE=∠CPO，
∴

∠DCP+∠BOP

∠CPO

=1．