题目内容

【题目】如图,在中,直径垂直于弦,垂足为,连结,将沿翻转得到,直线与直线相交于点

1)求证:的切线;

2)若的中点,,求的半径长;

3)①求证:

②若的面积为,求的长.

【答案】1)见解析;(2的半径为2;(3)①见解析;②

【解析】

1)连接OC,由OA=OC,根据折叠的性质得∠1=3,∠F=AEC=90°,则∠2=3,于是可判断OCAF,根据平行线的性质得,然后根据切线的性质得直线FC与⊙O相切;
2)首先证明△OBC是等边三角形,在RtOCE中,根据OC2=OE2+CE2,构建方程即可解决问题;
3)①根据等角的余角相等证明即可;
②利用圆的面积公式求出OB,由△GCB∽△GAC,可得,由此构建方程即可解决问题;

解:(1)证明:连结,则

即直线垂直于半径,且过的外端点,

的切线;

2斜边的中点,

是等边三角形,且的高,

中,

,即

解得,即的半径为2

3)①∵OC=OB

由①知:

,即

解得:

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