题目内容
【题目】如图,在中,直径垂直于弦,垂足为,连结,将沿翻转得到,直线与直线相交于点.
(1)求证:是的切线;
(2)若为的中点,,求的半径长;
(3)①求证:;
②若的面积为,,求的长.
【答案】(1)见解析;(2)的半径为2;(3)①见解析;②.
【解析】
(1)连接OC,由OA=OC得,根据折叠的性质得∠1=∠3,∠F=∠AEC=90°,则∠2=∠3,于是可判断OC∥AF,根据平行线的性质得,然后根据切线的性质得直线FC与⊙O相切;
(2)首先证明△OBC是等边三角形,在Rt△OCE中,根据OC2=OE2+CE2,构建方程即可解决问题;
(3)①根据等角的余角相等证明即可;
②利用圆的面积公式求出OB,由△GCB∽△GAC,可得,由此构建方程即可解决问题;
解:(1)证明:连结,则,
,
,
,
又,
即直线垂直于半径,且过的外端点,
是的切线;
(2)点是斜边的中点,
,
是等边三角形,且是的高,
在中,
,即
解得,即的半径为2;
(3)①∵OC=OB,
∴,
,,
.
②,
,
由①知:,
,即,
,
解得:.
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