题目内容

如图，平面直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在y正半轴上，OC在x正半轴上，点D是线段OC上一点，过点D作DE⊥AD交直线BC于点E，以A、D、E为顶点作矩形ADEF．
（1）求证：△AOD∽△DCE；
（2）若点A坐标为（0，4），点C坐标为（7，0）．
①当点D的坐标为（5，0）时，抛物线y=ax2+bx+c过A、F、B三点，求点F的坐标及a、b、c的值；
②若点D（k，0）是线段OC上任意一点，点F是否还在①中所求的抛物线上？如果在，请说明理由；如果不在，请举反例说明；
（3）若点A的坐标是（0，m），点C的坐标是（n，0），当点D在线段OC上运动时，是否也存在一条抛物线，使得点F都落在该抛物线上？若存在，请直接用含m精英家教网、n的代数式表示该抛物线；若不存在，请说明理由．
分析：（1）根据∠ECD=∠ADE=∠AOD=90°，以及∠OAD=∠EDC，即可得出△AOD∽△DCE；
（2）由△AOD∽△DCE，得出CE=
5
2
，CD=2，进而求HF的长，利用A（0，4）、F（2，
13
2
）、B（7，4），求出二次函数解析式；
（3）根据②式中y=-
1
4
k2+
7
4
k+4，直接将A，C点的坐标代入即可．
解答：精英家教网（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ECD=∠ADE=∠AOD=90°，
∴∠ADO+∠EDC=90°，
∠OAD+∠ADO=90°，
∴∠OAD=∠EDC，
∴△AOD∽△DCE；

（2）解：①过F作FH⊥OC交OC于H，交AB于N，精英家教网
由题意得，AB=OC=7，AO=BC=4，OD=5
∵△AOD∽△DCE，
∴
OD
CE
=
AO
CD
，
即
5
CE
=
4
2
，
∴CE=
5
2
，CD=2
∵四边形ADEF是矩形，DE=AF，∠DAB+∠BAF=90°
又∵∠OAD+∠DAB=90°，
∴∠OAD=∠BAF，
∴∠EDC=∠BAF，
∴△AFN≌△DEC，
∴AN=DC=2，FN=EC=
5
2
，
∴FH=
13
2

∴F点的坐标是（2，
13
2
），
由A（0，4）、F（2，
13
2
）、B（7，4），
得
c=4
13
2
=4a+2b+c
4=49a+7b+c
，
解得
a=-
1
4
b=
7
4
c=4
，
∴过A、F、B三点的抛物线的表达式为：y=-
1
4
x2+
7
4
x+4；

②点F在①中所求的抛物线上．
理由是：由（2）中①可知，
抛物线的表达式为：y=-
1
4
x2+
7
4
x+4，
当D（k，0）时，则DC=7-k，
同理，由△AOD∽△DCE和△AFN≌△DEC
求得：F（7-k，4+
k(7-k)
4
），
将x=7-k代入y=-
1
4
x2+
7
4
x+4得，y=-
1
4
k2+
7
4
k+4，
又4+
k(7-k)
4
=-
1
4
k2+
7
4
k+4
所以点F在①中所求的抛物线上．

（3）解：存在一条抛物线，使得点F都落在该抛物线上．
该抛物线的表达式为：y=-
1
m
x2+
n
m
x+m．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的判定与性质，主要考查学生数形结合的数学思想方法，是一道难度较大的二次函数题，综合考查了三角形相似的性质．
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