Question

【题目】如图1，二次函数y=ax2+bx的图象过点A（﹣1，3），顶点B的横坐标为1．

（1）求这个二次函数的表达式；
（2）点P在该二次函数的图象上，点Q在x轴上，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；
（3）如图3，一次函数y=kx（k＞0）的图象与该二次函数的图象交于O、C两点，点T为该二次函数图象上位于直线OC下方的动点，过点T作直线TM⊥OC，垂足为点M，且M在线段OC上（不与O、C重合），过点T作直线TN∥y轴交OC于点N．若在点T运动的过程中， 为常数，试确定k的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵二次函数y=ax2+bx的图象过点A（﹣1，3），顶点B的横坐标为1，

则有 解得

∴二次函数y=x2﹣2x

（2）

解：由（1）得，B（1，﹣1），

∵A（﹣1，3），

∴直线AB解析式为y=﹣2x+1，AB=2 ，

设点Q（m，0），P（n，n2﹣2n）

∵以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，

①当AB为对角线时，根据中点坐标公式得，则有 ，解得 或

∴P（1+ ，2）和（1﹣ ，2）

②当AB为边时，根据中点坐标公式得 解得 或

∴P（1+ ，4）或（1﹣ ，4）．

（3）

解：设T（m，m2﹣2m），∵TM⊥OC，

∴可以设直线TM为y=﹣ x+b，则m2﹣2m=﹣ m+b，b=m2﹣2m+ ，

由 解得 ，

∴OM= = ，ON=m ，

∴ = ，

∴k= 时， = ．

∴当k= 时，点T运动的过程中， 为常数．本题考查二次函数综合题，平行四边形的判定和性质，中点坐标公式等知识，解题

【解析】（1）利用待定系数法即可解决问题（2）①当AB为对角线时，根据中点坐标公式，列出方程组解决问题．②当AB为边时，根据中点坐标公式列出方程组解决问题．（3）设T（m，m2﹣2m），由TM⊥OC，可以设直线TM为y=﹣ x+b，则m2﹣2m=﹣ m+b，b=m2﹣2m+ ，求出点M、N坐标，求出OM、ON，根据 列出等式，即可解决问题．本题的关键是利用参数，方程组解决问题，学会转化的思想，属于中考压轴题．