Question

【题目】如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．

（1）求∠CDE的度数；
（2）求证：DF是⊙O的切线；
（3）若AC=2 DE，求tan∠ABD的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵对角线AC为⊙O的直径，

∴∠ADC=90°，

∴∠EDC=90°

（2）

证明：连接DO，

∵∠EDC=90°，F是EC的中点，

∴DF=FC，

∴∠FDC=∠FCD，

∵OD=OC，

∴∠OCD=∠ODC，

∵∠OCF=90°，

∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，

∴DF是⊙O的切线；

（3）

解：如图所示：

可得∠ABD=∠ACD，

∵∠E+∠DCE=90°，∠DCA+∠DCE=90°，

∴∠DCA=∠E，

又∵∠ADC=∠CDE=90°，

∴△CDE∽△ADC，

∴ ，

∴DC2=ADDE

∵AC=2 DE，

∴设DE=x，则AC=2 x，

则AC2﹣AD2=ADDE，

期（2 x）2﹣AD2=ADx，

整理得：AD2+ADx﹣20x2=0，

解得：AD=4x或﹣4.5x（负数舍去），

则DC= =2x，

故tan∠ABD=tan∠ACD= =2．

【解析】（1）直接利用圆周角定理得出∠CDE的度数；（2）直接利用直角三角形的性质结合等腰三角形的性质得出∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，进而得出答案；（3）利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出AD，DC的长，再利用圆周角定理得出tan∠ABD的值．此题主要考查了圆的综合以及切线的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，根据题意表示出AD，DC的长是解题关键．