Question

【题目】如图，△ABC是⊙O的内接三角形且AB=AC，BD是⊙O的直径，过点A做AP∥BC交DB的延长线于点P，连接AD．

（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径是2，cos∠ABC= ，求AB的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：连接AO，

∵AP∥BC，

∴∠3=∠ABC，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∵∠C=∠D，

∵∠1=∠D，

∵BD是⊙O的直径，

∴∠1+∠2=90°，

∴∠2+∠3=90°，

∴AP是⊙O的切线；

（2）

解：

由（1）得：∠ABC=∠D，

∵⊙O的半径是2，cos∠ABC= ，

∴BD=4，cos∠ABC=cosD= ，

∴ = ，

解得：AD=3，

∴AB= = = ．

【解析】（1）根据等腰三角形的性质以及圆周角定理得出∠3=∠1，进而得出∠2+∠3=90°，即可得出答案；（2）利用锐角三角函数关系得出cos∠ABC=cosD= ，进而得出AD的长，再利用勾股定理求出AB的长．
【考点精析】通过灵活运用切线的判定定理和解直角三角形，掌握切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)即可以解答此题．