题目内容

【题目】如图,已知二次函数y=﹣x2+bx+c(其中b,c为常数)的图象经过点A(3,1),点C(0,4),顶点为点M,过点A作AB∥x轴,交y轴于点D,交该二次函数图象于点B,连结BC.

(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标.
(2)若将该二次函数图象向下平移m(m>0)个单位,使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部(不包括△ABC的边界),求m的取值范围.
(3)沿直线AC方向平移该二次函数图象,使得CM与平移前的CB相等,求平移后点M的坐标.
(4)点P是直线AC上的动点,过点P作直线AC的垂线PQ,记点M关于直线PQ的对称点为M′.当以点P,A,M,M′为顶点的四边形为平行四边形时,直接写出点P的坐标.

【答案】
(1)解:把点A(3,1),点C(0,4)代入二次函数y=﹣x2+bx+c得

解得

∴二次函数解析式为y=﹣x2+2x+4,

配方得y=﹣(x﹣1)2+5,

∴点M的坐标为(1,5)


(2)解:设直线AC解析式为y=kx+b,把点A(3,1),C(0,4)代入得

解得:

∴直线AC的解析式为y=﹣x+4,如图所示,对称轴直线x=1与△ABC两边分别交于点E、点F

把x=1代入直线AC解析式y=﹣x+4解得y=3,则点E坐标为(1,3),点F坐标为(1,1),

点M向下平移m个单位后,坐标为(1,5﹣m),

由题意:1<5﹣m<3,解得2<m<4;

∴2<m<4


(3)解:如图,

当y=1时,﹣x2+2x+4=1,解得x=﹣1或3,

∴B(﹣1,1),

∵C(0,4),

∴BC= =

∵MM′∥AC,CM′= ,M(1,5).

∴M′的坐标为(3,3)或(﹣1,7).

∴平移后点M的坐标(3,3)或(﹣1,7)


(4)解:如图,连接MC,MM′交PQ于F,则四边形CMFP是矩形,

当四边形 PAM′M是平行四边形时,PA=MM′=2MF=2PC,设P(m,﹣m+4),

则有 (3﹣m)=2 m,

∴m=1,

∴P(1,3),

当四边形 P′AMM′是平行四边形时,易知AP′=2CP′,

(3﹣m)=2 (﹣m),

解得m=﹣3,

∴P(﹣3,7),

综上所述,满足条件的点P的坐标为(1,3)或(﹣3,7).


【解析】(1)将点A(3,1),点C(0,4)代入二次函数y=﹣x2+bx+c,求出b、c的值即可,再用配方法求出顶点坐标。
(2)先求出直线AC的函数解析式,再根据已知AB∥x轴及点A的坐标,求出点E、F的坐标,点M向下平移m个单位后,坐标为(1,5﹣m),再见了不等式组,即可求出m的取值范围。
(3)当y=1时,﹣x2+2x+4=1,解方程求出方程的解,可得到点B的坐标,再Rt△BDC中,利用勾股定理可求出BC的长,由MM′∥AC及点M的坐标,就可求出平移后点M的坐标。
(4)连接MC,MM′交PQ于F,则四边形CMFP是矩形,当四边形 PAM′M是平行四边形时,PA=MM′=2MF=2PC,建立方程求出点P的坐标;当四边形 P′AMM′是平行四边形时,易知AP′=2CP′,建立方程求出点P的坐标。
【考点精析】关于本题考查的确定一次函数的表达式和勾股定理的概念,需要了解确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式y=kx+b(k不等于0)中的常数k和b.解这类问题的一般方法是待定系数法;直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2才能得出正确答案.

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