Question

【题目】如图，中，，，是由绕点按顺时针方向旋转()得到的，连接，相交于点.

（1）求证：；

（2）当四边形为菱形时，求的长.

（3）若顺时针方向旋转，猜想四边形是菱形吗？若是，请写出证明过程；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）四边形是菱形，理由见解析

【解析】

（1）先由旋转的性质得，则，即，利用可得，于是根据旋转的定义，可由绕点A按顺时针方向旋转得到，然后根据旋转的性质得到；
（2）由菱形的性质得到，，根据等腰三角形的性质得，根据平行线得性质得，所以，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，所以，于是利用求解．

（3）由旋转得到，并，所以和为等腰直角三角形，则可以得到，所以四边形是平行四边形，根据，所以四边形是菱形.

证明：（1）∵是由绕点按顺时针方向旋转得到的，

∴，

∴，

即

∵，
∴，
∴可由绕点A按顺时针方向旋转得到，

∴

（2）∵四边形是菱形，

∴，

∴，

∴

∴为等腰直角三角形

∴

∴

（3）四边形是菱形，理由如下：

∵顺时针方向旋转

∴

∵

∴和为等腰直角三角形

∴

又∵

∴，

∴

∴四边形是平行四边形

又∵

∴四边形是菱形