Question

如图，已知⊙O的半径为4，点D是直径AB延长线上一点，DC切⊙O于点C，连接AC，若∠CAB=30°，则BD的长为

1. A.
   4
2. B.
   8
3. C.
   4
4. D.
   2

Answer 1

C
分析：连接OC，由切线的性质可知∠OCD为直角，然后利用等边对等角，由OA=OC得到∠BAC=∠OCA，再由∠CAB=30°，得到∠OCA=30°，又∠DOC为三角形AOC的外角，根据三角形外角的性质可得∠DOC为60°，从而得到∠D为30°，在直角三角形OCD中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，由OC的长求出OD的长，再由OD-OB即可求出BD的长．
解答：解：连接OC，如图所示：
由CD为圆O的切线，得到OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵OA=OC，且∠CAB=30°
∴∠CAB=∠OCA=30°，
∴∠DOC=60°，
∴∠ODC=30°，
在Rt△OCD中，OC=4，则OD=8，
则BD=OD-OB=8-4=4．
故选C．
点评：此题考查了切线的性质，三角形的外角性质以及含30°角的直角三角形的性质，遇到直线与圆相切时，常常连接圆心与切点，构造直角三角形，利用直角三角形的性质来解决问题．