Question

23、如图，已知AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线MN交AC于点D，交AB于点M，有下面4个结论：①射线BD是∠ABC的角平分线；②图中共有三个等腰三角形；③△BCD的周长=AB+BC；④△AMD≌△BCD．其中正确的有

①②③

．

Answer 1

分析：①由AB=AC，∠A=36°知∠ABC=∠C=72°，MN是AB的中垂线知AD=BD，∠ABD=∠A=36°，所以∠DBC=36°①正确．
②由①知，等腰三角形有△ABC，△BDC，△ADB，②正确．
③由①知，DA=BD，△BCD的周长=BC+CD+BD=AC+BC=AB+BC，③正确．
④由①知∠AMD=90°，而△BCD为锐角三角形，所以④不正确．

解答：解：由AB=AC，∠A=36°知∠ABC=∠C=72°，
∵MN是AB的中垂线，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=36°，
∴∠DBC=36°，
∴①正确，
又∠C=72°，
∴∠BDC=72°，
∴BC=BD，
∴等腰三角形有△ABC，△BDC，△ADB，
∴②正确，
由AD=BD，AB=AC知，△BCD的周长=BC+CD+BD=AC+BC=AB+BC，
∴③正确，
∵AM⊥MD，而△BCD为锐角三角形，
∴④错误，
∴正确的为：①②③．

点评：本题考查了线段垂直平分线性质及等腰三角形性质的综合应用，是基础题，要熟练掌握．