题目内容
【题目】数学问题：计算
（其中m，n都是正整数，且m≥2，n≥1）．
探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．
探究一：计算
．
第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为
；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为
；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，…；
…
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为
，最后空白部分的面积是
．
根据第n次分割图可得等式： 
=1﹣
．
探究二：计算
．
第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为
；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为
；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…；
…
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为
，最后空白部分的面积是
．
根据第n次分割图可得等式： 
=1﹣
，
两边同除以2，得
=
.
探究三：计算
．
（仿照上述方法，只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）
解决问题：计算
．
（只需画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空）
根据第n次分割图可得等式： ，
所以， 
= ．
拓广应用：计算
．
【答案】答案见解析.
【解析】试题分析：探究三：根据探究二的分割方法依次进行分割，然后表示出阴影部分的面积，再除以3即可；
解决问题：按照探究二的分割方法依次分割，然后表示出阴影部分的面积及，再除以（m-1）即可得解；
拓广应用：先把每一个分数分成1减去一个分数，然后应用公式进行计算即可得解．
试题解析：探究三：第1次分割，把正方形的面积四等分，
其中阴影部分的面积为
；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，
阴影部分的面积之和为
；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，
…，
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分，
所有阴影部分的面积之和为： 
最后的空白部分的面积是
，
根据第n次分割图可得等式： 
=1﹣
，
两边同除以3，得
=
；
解决问题： 
，
；
故答案为： 
=1﹣
， 
；
拓广应用： 
，
=1﹣
+1﹣
+1﹣
+…+1﹣
，
=n﹣（
+
+
+…+
），
=n﹣（
﹣
），
=n﹣
+
．
