(2013•南安市质检)如图.已知△ABC.点A在BC边的上方.把△ABC绕点B逆时针方向旋转60°得△DBE.绕点C顺时针方向旋转60°得△FEC.连结AD.AF．(1)判断:△ABD.△ACF.△BCE是什么特殊三角形?(2)当△ABC满足什么条件时.四边形ADEF是正方形?请说明理由,(3)当△ABC满足什么条件时.以A.D.E.F为顶点的四边� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

（2013•南安市质检）如图，已知△ABC，点A在BC边的上方，把△ABC绕点B逆时针方向旋转60°得△DBE，绕点C顺时针方向旋转60°得△FEC，连结AD、AF．
（1）判断：△ABD、△ACF、△BCE是什么特殊三角形？（可直接写出答案）
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？请说明理由；
（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？请说明理由．

分析：（1）△ABD、△ACF、△BCE都是等边三角形；
（2）当∠BAC=150°且AB=AC时，四边形ADEF是正方形，理由为：由旋转可知DE=AC，根据三角形ACF为等边三角形，得到AC=AF，等量代换得到DE=AF，同理得到EF=AD，利用两组对边相等的四边形为平行四边形得到AFED为平行四边形，若∠BAC=150°，利用周角定义求出∠DAF为直角，可得出平行四边形AFED为矩形，再由AB=AC，三角形ADB与三角形ACF都是等边三角形，得到AD=AF，矩形AFED为正方形，得证；
（3）当∠BAC=60°时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在，理由为：若∠BAC=60°，三角形ADB与三角形ACF都是等边三角形，利用周角定义求出∠DAF为平角，即D、A、E、F四点共线，即以A、D、E、F为顶点的四边形不存在．

解答：解：（1）△ABD、△ACF、△BCE都是等边三角形，
理由为：由旋转可知：AB=DB，∠ABD=60°，AC=FC，∠ACF=60°，BC=BE，∠CBE=60°，
∴△ABD、△ACF、△BCE都是等边三角形；

（2）当∠BAC=150°，且AB=AC时，四边形ADEF是正方形，
理由如下：
∵△DBE是由△ABC绕点B旋转60°而得到的，
∴DE=AC，
由（1）知△ACF为等边三角形，
∴AC=AF，
∴DE=AF，
同理可得，EF=AD，
∴四边形ADEF是平行四边形，
若∠BAC=150°，则∠DAF=360°-∠BAC-∠DAB-∠FAC=360°-150°-60°-60°=90°，
∴四边形ADEF是矩形，
又AB=AC，∴AD=AF，
则四边形ADEF是正方形；

（3）当∠BAC=60°时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在，
理由如下：
若∠BAC=60°，则∠DAF=360°-∠BAC-∠DAB-∠FAC=360°-60°-60°-60°=180°．
此时，点A、D、E、F四点共线，
∴以A、D、E、F为顶点的四边形不存在．

点评：此题考查了四边形综合题，涉及的知识有：等边三角形的判定与性质，旋转的性质，平行四边形，矩形，正方形的判定，以及周角的定义，是一道综合性较强的探究性试题．