题目内容
【题目】如图,在矩形ABCD中,点E为CD上一点,将△BCE沿BE翻折后点C恰好落在AD边上的点F处,将线段EF绕点F旋转,使点E落在BE上的点G处,连接CG.
(1)证明:四边形CEFG是菱形;
(2)若AB=8,BC=10,求四边形CEFG的面积;
(3)试探究当线段AB与BC满足什么数量关系时,BG=CG,请写出你的探究过程.
【答案】(1)见解析;(2)20;(3)
【解析】试题分析:(1)由折叠得到EF=CE,∠FEG=∠CEG,再加上公共边GE,利用SAS可得出△EFG≌△ECG,利用全等三角形的对应边相等可得出GF=CG,再由FG是线段EF旋转得到的,故FG=EF,等量代换可得出四边形EFGC四条边相等,进而确定出此四边形为菱形;(2)连接FC,与GE交于点O,由折叠得到BF=BC=10,连接FC,交GE于O点,在Rt△ABF中,根据勾股定理求得AF =6,即可得FD=4,设EC=x,则DE=8-x,EF=x,在Rt△FDE中利用勾股定理列出方程42+(8-x)2=x2,解方程得EC=5;在Rt△FDC中根据勾股定理求得FC=4 ;在菱形FGCE中FO=FC=2,EO=GE,GE⊥FC,在在Rt△FOE中求得EO=,即可得GE=2EO=2,从而根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半即可求得菱形的面积;(3)当线段AB与BC满足时,BG=CG,理由为:在Rt△ABF中,利用特殊角的三角函数值及锐角三角函数定义求出∠ABF的度数,进而确定出∠FBC的度数,再由折叠得到∠FBE=∠EBC,求出∠EBC为30°,可得出∠BEC为60°,再由GC=CE得到△CGE为等边三角形,再由30°所对的直角边EC等于斜边BE的一半,得到GE为BE的一半,即G为BE的中点,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得到CG与BG相等都为BE的一半.
试题解析:
(1)根据翻折的方法可得:EF=EC,∠FEG=∠CEG,
在△EFG和△ECG中,
∵ ,
∴△EFG≌△ECG(SAS),
∴FG=GC,
∵线段FG是由EF绕F旋转得到的,
∴EF=FG,
∴EF=EC=FG=GC,
∴四边形FGCE是菱形;
(2)连接FC,交GE于O点,
根据折叠可得:BF=BC=10,
∵AB=8,
在Rt△ABF中,
根据勾股定理得:AF= =6,
∴FD=AD-AF=10-6=4,
设EC=x,则DE=8-x,EF=x,
在Rt△FDE中:FD2+DE2=EF2,即42+(8-x)2=x2,
解得:x=5,
在Rt△FDC中:FD2+DC2=CF2,
则:42+82=FC2,
解得:FC=4 ,
∵四边形FGCE是菱形,
∴FO=FC=2,EO=GE,GE⊥FC,
在Rt△FOE中:FO2+OE2=EF2,即(2)2+EO2=52,
解得:EO=,
∴GE=2EO=2,
则S菱形CEFG=×FC×GE=×4×2=20;
(3)当时,BG=CG,理由为:
由折叠可得:BF=BC,∠FBE=∠CBE,
∵在Rt△ABF中, ,
∴cos∠ABF= ,即∠ABF=30°,
又∵∠ABC=90°,
∴∠FBC=60°,EC=BE,
∴∠FBE=∠CBE=30°,
∵∠BCE=90°,
∴∠BEC=60°,
又∵GC=CE,
∴△GCE为等边三角形,
∴GE=CG=CE=BE,
∴G为BE的中点,
则CG=BG=BE.
【题目】某校召开运动会,七(1)班学生到超市分两次(第二次少于第一次)购买某种饮料90瓶,共用去205元,已知该种饮料价格如下:
购买瓶数/瓶 | 不超过30 | 30以上不超过50 | 50以上 |
单价/元 | 3 | 2.5 | 2 |
求:两次分别购买这种饮料多少瓶?
【题目】在太空种子种植体验实践活动中,为了解“宇番2号”番茄,某校科技小组随机调查60株番茄的挂果数量x(单位:个),并绘制如下不完整的统计图表:
“宇番2号”番茄挂果数量统计表
挂果数量x(个) | 频数(株) | 频率 |
25≤x<35 | 6 | 0.1 |
35≤x<45 | 12 | 0.2 |
45≤x<55 | a | 0.25 |
55≤x<65 | 18 | b |
65≤x<75 | 9 | 0.15 |
请结合图表中的信息解答下列问题:
(1)统计表中,a= ,b= ;
(2)将频数分布直方图补充完整;
(3)若绘制“番茄挂果数量扇形统计图”,则挂果数量在“35≤x<45”所对应扇形的圆心角度数为 °;
(4)若所种植的“宇番2号”番茄有1000株,则可以估计挂果数量在“55≤x<65”范围的番茄有 株.