Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点N，连接BM，DN．

（1）求证：四边形BMDN是菱形；

（2）若AB=4，AD=8，求MD的长

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）5．

【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC

∴∠BNO=∠DMO，∠NBO=∠MDO.

∵MN是BD的中垂线，∴OB=OD，BD⊥MN.

∴△BNO≌△DMO（AAS）∴ON=OM.

∴四边形BMDN的对角线互相平分.

∴四边形BMDN是平行四边形.

∵BD⊥MN

∴平行四边形BMDN是菱形

（2）∵四边形BMDN是菱形，∴MB=MD.

设MD长为xcm，则MB=DM=xcm，AM=8－x.

∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90

在Rt△AMB中， ，即，解得：x=5

菱形的面积=20