Question

如图，已知A是等边三角形PQR的边RQ的延长线上的点，B是QR延长线上的点，
（1）若∠1+∠2=60°，求证：QR²=AQ•BR．
（2）若AQ=

1

2

QR，当RB与QR满足什么条件时，△BRP∽△PQA？
（3）△BPQ有可能与△PQA相似吗？若可能相似，说明应满足什么条件；若不可能相似，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形的性质和相似三角形的判定可以证明△APQ∽△PBR，再根据相似三角形的性质即可证明；
（2）根据相似三角形的对应边的比相等进行求解；
（3）根据相似三角形的外角的性质进行证明．

解答：解：（1）证明：∵△PQR是等边三角形，
∴∠PQR=∠QRP=∠QPR=60°，
∴∠A+∠1=60°，
又∵∠1+∠2=60°（三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和），
∴∠2=∠A（等量代换），
又∠AQP=∠PRB=120°（等边三角形的外角），
∴△AQP∽△PRB（4分），
∴

PR

AQ

=

BR

PQ

，
又PQ=PR=QR，
即QR²=AQ•BR；

（2）∵∠AQP=∠PRB=120°，
∴当

RB

PR

=

AQ

QR

=

AQ

QP

=

1

2

（2分），或

RB

PR

=

QR

AQ

=

QP

AQ

=2时，（1分）
即当  RB=

1

2

QR或RB=2QR时，△BRP∽△PQA；（1分）

（3）不可能．（1分）
∵∠PQB=60°，
而∠AQP=120°＞∠PQB．
又∠A＜∠PQB，∠APQ＜∠PQB．
（三角形的外角大于不相邻的两个内角）
所以△BPQ与△PQA不可能相似．（1分）

点评：此题综合考查了等边三角形的性质、相似三角形的性质及判定、三角形的外角的性质，是一道好题．