Question

10、如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．给出以下三个结论：
①AE=BD
②CN=CM
③MN∥AB
其中正确结论的个数是（　　）

A、0

B、1

C、2

D、3

Answer 1

分析：由△ACD和△BCE是等边三角形，根据SAS易证得△ACE≌△DCB，即可得①正确；由△ACE≌△DCB，可得∠EAC=∠NDC，又由∠ACD=∠MCN=60°，利用ASA，可证得△ACM≌△DCN，即可得②正确；又可证得△CMN是等边三角形，即可证得③正确．

解答：解：∵△ACD和△BCE是等边三角形，
∴∠ACD=∠BCE=60°，AC=DC，EC=BC，
∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠ECB，
即∠ACE=∠DCB，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=BD，故①正确；
∴∠EAC=∠NDC，
∵∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠MCN=60°，
∵AC=DC，
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴CM=CN，故②正确；
又∠MCN=180°-∠MCA-∠NCB=180°-60°-60°=60°，
∴△CMN是等边三角形，
∴∠NMC=∠ACD=60°，
∴MN∥AB，故③正确．
故选D．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，以及平行线的判定等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．