题目内容
如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动．设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t为何值时，△BPQ为直角三解形；
（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（3）作QR∥BA交AC于点R，连接PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？
分析：（1）分两种情况考虑：（i）当PQ⊥BC时，如图所示，由速度是1厘米/秒，时间是t秒，利用速度×时间=路程表示出AP与BQ的长，再由AB-AP表示BP，由三角形ABC为等边三角形，得到∠B=60°，在直角三角形BPQ中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；（ii）当QP⊥AB时，如图所示，由速度是1厘米/秒，时间是t秒，利用速度×时间=路程表示出AP与BQ的长，再由AB-AP表示BP，由三角形ABC为等边三角形，得到∠B=60°，在直角三角形BPQ中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，综上，得到所有满足题意的t的值．
（2）根据∠B为60°特殊角，过Q作QE⊥AB，垂足为E，则BQ、BP、高EQ的长可用t表示，S与t的函数关系式也可求；
（3）由题目线段的长度可证得△CRQ为等边三角形，进而得出四边形EPRQ是矩形，由△APR∽△PRQ，可得出∠QPR=60°，利用60°的特殊角列出一方程即可求得t的值．
（2）根据∠B为60°特殊角，过Q作QE⊥AB，垂足为E，则BQ、BP、高EQ的长可用t表示，S与t的函数关系式也可求；
（3）由题目线段的长度可证得△CRQ为等边三角形，进而得出四边形EPRQ是矩形，由△APR∽△PRQ，可得出∠QPR=60°，利用60°的特殊角列出一方程即可求得t的值．
解答：解：（1）分两种情况考虑：
（i）当PQ⊥BC时，如图1所示：
由题意可得：AP=tcm，BQ=2t厘米，BP=（6-t）厘米，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
在Rt△BPQ中，cos60°=
=
，即
=
，
解得：t=
（秒）；
（ii）当QP⊥AB时，如图2所示：
由题意可得：AP=tcm，BQ=2t厘米，BP=（6-2t）厘米，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
在Rt△BPQ中，cos60°=
=
，即
=
，
解得：t=3（秒），
综上所述，t=
或3时，△BPQ为直角三解形；
（2）如图3，过Q作QE⊥AB，垂足为E
由QB=2t，得QE=2t•sin60°=
t
由AP=t，得PB=6-t
∴S△BPQ=
×BP×QE=
（6-t）×
t=-
t2+3
t
∴S=-
t2+3
t；
（3）如图4，∵QR∥BA，
∴∠QRC=∠A=60°，∠RQC=∠B=60°
∴△QRC是等边三角形，
∴QR=RC=QC=6-2t，
∵BE=BQ•cos60°=
×2t=t，
∴EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t，
∴EP∥QR，EP=QR
，
∴四边形EPRQ是平行四边形，
∴PR=EQ=
t，
又∵∠PEQ=90°，
∴∠APR=∠PRQ=90°，
∵△APR∽△PRQ，
∴∠QPR=∠A=60°，
∴tan60°=
，
即
=
，
解得t=
，
∴当t=
时，△APR∽△PRQ．
（i）当PQ⊥BC时，如图1所示：
由题意可得：AP=tcm，BQ=2t厘米，BP=（6-t）厘米，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
在Rt△BPQ中，cos60°=
| BQ |
| BP |
| 1 |
| 2 |
| 2t |
| 6-t |
| 1 |
| 2 |
解得：t=
| 6 |
| 5 |
（ii）当QP⊥AB时，如图2所示：
由题意可得：AP=tcm，BQ=2t厘米，BP=（6-2t）厘米，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
在Rt△BPQ中，cos60°=
| BP |
| BQ |
| 1 |
| 2 |
| 6-t |
| 2t |
| 1 |
| 2 |
解得：t=3（秒），
综上所述，t=
| 6 |
| 5 |
（2）如图3，过Q作QE⊥AB，垂足为E
由QB=2t，得QE=2t•sin60°=
| 3 |
由AP=t，得PB=6-t
∴S△BPQ=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| ||
| 2 |
| 3 |
∴S=-
| ||
| 2 |
| 3 |
（3）如图4，∵QR∥BA，
∴∠QRC=∠A=60°，∠RQC=∠B=60°
∴△QRC是等边三角形，
∴QR=RC=QC=6-2t，
∵BE=BQ•cos60°=
| 1 |
| 2 |
∴EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t，
∴EP∥QR，EP=QR
，∴四边形EPRQ是平行四边形，
∴PR=EQ=
| 3 |
又∵∠PEQ=90°，
∴∠APR=∠PRQ=90°，
∵△APR∽△PRQ，
∴∠QPR=∠A=60°，
∴tan60°=
| QR |
| PR |
即
| 6-2t | ||
|
| 3 |
解得t=
| 6 |
| 5 |
∴当t=
| 6 |
| 5 |
点评：此题考查了等边三角形的判定及性质、三角形相似、解直角三角形、函数等知识．利用了分类讨论及方程的思想，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．
练习册系列答案
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的坐标为（-1，0）．
如图，已知△ABC是等边三角形，AB交⊙O于点D，DE⊥AC于点E．
如图，已知△ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D，使得△CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，
（2012•襄城区模拟）如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF、BE和CF．
（2013•奉贤区二模）如图，已知△ABC是等边三角形，点D是BC延长线上的一个动点，以AD为边作等边△ADE，过点E作BC的平行线，分别交AB，AC的延长线于点F，G，联结BE．