Question

如图，已知△ABC是边长为4的等边三角形，AB在轴上，点C在第一象限，AC与y轴交于点D，点A的坐标为（-1，0）．
（1）求B、C、D三点的坐标；
（2）抛物线y=ax²+bx+c经过B、C、D三点，求它的解析式；
（3）过点D作DF∥AB交BC于E，若EF=

1

2

，判断点F是否在（2）中的抛物线上，说明理由．

Answer 1

分析：（1）理由等边三角形的性质可得B（3，0），C（1，2

3

），D（0，

3

）；
（2）设y=ax²+bx+c，然后把B（3，0），C（1，2

3

），D（0，

3

）代入解析式得到关于a，b，c的三元一次方程，解方程即可．
（3）由DF∥AB，而D点为AC的中点，得到DE为△ABC的中位线，得DE=2，则DF=

5

2

，则F（

5

2

，

3

），然后把F点的坐标代入（2）的解析式，满足解析式说明F在（2）中的抛物线上．

解答：解：（1）∵∠A=60°，OA=1，OD=

3

OA=

3

，所以有D（0，

3

）；
由△ABC是边长为4的等边三角形，所以C（1，2

3

），B（3，0）．
所以B（3，0），C（1，2

3

），D（0，

3

）；

（2）设y=ax²+bx+c，
把B（3，0），C（1，2

3

），D（0，

3

）分别代入解析式得，
9a+3b+c=0①，
a+b+c=2

3

②，
c=

3

③，
解由①②③组成的方程组得，a=-

2 3

3

，b=

5 3

3

，c=

3

，
所以抛物线的解析式为：y=-

2 3

3

x²+

5 3

3

x+

3

．

（3）点F在（2）中的抛物线上．理由如下：
∵DF∥AB，而D点为AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE=2，则DF=

5

2

，
∴F（

5

2

，

3

）．
令x=

5

2

，则y=-

2 3

3

x²+

5 3

3

x+

3

=

3

．
所以点F在（2）中的抛物线上．

点评：本题考查了用待定系数法确定二次函数的解析式．设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，通过解方程组确定a，b，c的值．也考查了等边三角形的性质和中位线的性质．